Wikipediaに円周率の求め方として、半径1の円x^2+y^2=1

Wikipediaに円周率の求め方として、半径1の円x^2+y^2=1を考え、
πが∫[-1,1](1-(y')^2)^(1/2)dxになると書いてあるのですが、
この式はどのように解釈すればいいのでしょうか。

説明を読むと円周(π)を求めているとのことなのですが、
なぜこの式が円週になるか理解できませんでした。

よろしくお願いします。

[wikipedia：円周率]
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=c …

No.2 ベストアンサー 回答者： ere_Elba 回答日時： 2010/10/05 12:31

円弧の微小長さをdsとすると

ds^2=dx^2+dy^2={1+(dy/dx)^2}dx

故に、全円弧の長さは
∫[-1, +1] √(1 + y'^2) dx

これから先、
x^2+y^2=1
をxで微分すると

x+y(dy/dx)=0より、

y'^2=(-x/y)^2=x^2/(1-x^2)

これから、
1 + y'^2={(1-x^2)+x^2}/(1-x^2)=1/(1-x^2)

従って、
∫[-1, +1] √(1 + y'^2) dx=∫[-1, +1] {1/√(1 - x^2)} dx
となります。

この回答へのお礼

お返事遅れてもうしわけありません。回答ありがとうございました

お礼日時：2010/10/10 03:11

No.3 回答者： ere_Elba 回答日時： 2010/10/05 12:34

一部訂正、

ds^2=dx^2+dy^2={1+(dy/dx)^2}dx^2
でした。

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/10/05 12:00

> ∫[-1,1](1-(y')^2)^(1/2)dx

これは半径1の半円の弧の長さを計算する式です。

半径1の円の円周は長さ2πなので、
この式で半円の弧の長さπが算出されます。

[補足]
曲線y = f(x) (a ≦ x ≦ b)の長さは
∫[a, b] √(1 + f'(x)) dx
で求められます。
この話は高校数学の数3で触れていると思います
(教育課程の変更で、もしかしたら今は扱っていないかもしれません)。

この回答へのお礼

お返事遅れて申し訳ありません。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/10/10 03:08