Card(0,1)=Card[0,1]の証明

Card(0,1)=Card[0,1]の証明

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/11/09 23:30

No.1 の解法は、選択公理を使わないね。

例えば、f(x) = (1/2) x + (1/4) は実数上の一対一写像であって、
f( [0,1] ) = [1/4,3/4] ⊂ (0,1) より、Card[0,1] ≦ Card(0,1) 。

また、(0,1) ⊂ [0,1] より、Card(0,1) ≦ Card[0,1] 。

No.4 回答者： yoikagari 回答日時： 2010/11/09 23:53

[0,1]から(0,1)への写像fを以下のように決める。

f(0)=1/2、f(1)=1/4
1以上の整数nに対して
f( (1/2)^n) )=(1/2)^(n+2)
0,1,(1/2)^n以外の値xに対して
f(x)=x

以上のように決めるとfは[0,1]から(0,1)への全単射となる。

No.2 回答者： ramayana 回答日時： 2010/11/09 22:51

（１）　一般に、Xを無限集合、Yを有限集合とするとき

　　Card(X∪Y)=Card(X)

です。

（２）　[0,1]=(0,1)∪{0,1}だから、（１）によりCard(0,1)=Card[0,1]となります。

（３）　なお、（１）は、ツォルンの補題を使う簡単な練習問題になります。トライしてみてください。集合論に興味がおありなら、是非、ツォルンの補題の使い方をマスターすることをお薦めします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/11/09 10:34

両方向きの「不等号」をそれぞれ示す. 終わり.