No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1の回答のようにモタモタした解をみると、イライラするので。
。。。。w 書き込むとしよう。t=sinθ+cosθ (|t|≦√2)とすると 両辺を2乗すると1+2*sinθ*cosθ=1+sin2θ=t^2
又、3倍角の公式から sin3θ=3sinθ-4sin^3θ、cos3θ=4cos^3θ-3cosθを使うと、f(θ)=sin3θ-cos3θ+3sin2θ-9(sinθ+cosθ)=-6(sinθ+cosθ)+3sin2θ-4(sinθ+cosθ)*(1-sinθ*cosθ)=2t^3+3t^2-12t-3となる。
g(t)=2t^3+3t^2-12t-3として、微分して、|t|≦√2の範囲で増減表を書くと最大値・最小値は自動的に求められる。
続きは、自分でやって。
No.1
- 回答日時:
(1) 準備として、次の式をtで表します。
t=sinθ+cosθ から
sin(2θ)
=2sinθcosθ
=(sinθ+cosθ)^2-{(sinθ^2+(cosθ)^2}
=t^2-1
sinθ-cosθ
=±√{(sinθ+cosθ)^2-4sinθcosθ}
=±√{t^2-2sin(2θ)}
=±√{t^2-2(t^2-1)}
=±√(2-t^2)
cos(2θ)
=(cosθ)^2-(sinθ)^2 (∵ cosの2倍角の公式)
=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)
=干t√(2-t^2) (複号同順)
sin(3θ)-cos(3θ)
=sinθcos(2θ)+cosθsin(2θ)-{cosθcos(2θ)-sinθsin(2θ)} (∵ sin(θ+2θ),cos(θ+2θ)の加法定理)
=cos(2θ)(sinθ-cosθ)+sin(2θ)(cosθ+sinθ)
=干t√(2-t^2)×{±√(2-t^2)}+(t^2-1)t (複号同順)
=-t(2-t^2)+t(t^2-1)
=t(2t^2-3)
=2t^3-3t
あとは、これらをf(θ)の式に代入していきます。
f(θ)=(2t^3-3t)+3(t^2-1)-9t =2t^3+3t^2-12t-3
(2) t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4) なので、0≦θ<2π の範囲で
-√2≦t≦√2
この範囲でのf(θ)の最大・最小を求める。
f(θ)=2t^3+3t^2-12t-3
∴df(θ)/dt=6(t+2)(t-1)
∴ f(θ)のt^3の係数は正なので f(θ)は t=-2 で極大値、 t=1 で極小値をとる。
従って、f(θ)は t=-1 のとき 最小値 f(θ)=-10 をとる。 このときのθは θ=π、3π/2 。
t=±√2 のとき f(θ)=3干8√2 (複号同順) なので t=-√2 のときのf(θ)の方がt=√2のときのf(θ)より大きい。
故に、 f(θ)は t=-√2 のとき 最大値 f(θ)=3+8√2 をとる。 このときのθは θ=5π/4 。
以上をまとめて、f(θ)は
θ=5π/4(t=-√2) のとき 最大値 3+8√2
θ=π、3π/2(t=-1)のとき 最小値 -10
をとると言える。
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