倍数算について質問です

以下の問題文その解説を読んだ上で、私の質問に答えてください。

問題文：AはBの3倍のお金を持っていました。その後、Aが4800円、Bが4100円もらったので、AはBの2倍のお金を持つことになりました。最初にA、Bは、それぞれいくら持っていたでしょう。


解説：仮に、Aが4100円×3=12300円もらっていれば、AとBの所持金の額は3倍で変わらなかったが、実際は、4800円しかもらわなかったので、2倍になった。
　ここで、現在のBの所持金を1とすると、
　Aが12300円もらったときと4800円もらったときの金額の差が2-1=1に相当する。
　12300円-4800円=7500円 … 現在のBの所持金
　7500円-4100円=3400円 … 最初のBの所持金
　3400円×3=10200円 … 最初のAの所持金


質問１：解説の中で、「Aが12300円もらったときと4800円もらったときの金額の差が2-1=1に相当する。」
と書いてありますが、何故金額の差が2－1＝1に相当するのだかわかりません。
なぜですか？

質問２：解説の中で「仮に、Aが4100円×3=12300円もらっていれば、AとBの所持金の額は3倍で変わらなかったが」と書いてありますが、何故このような仮説を立てる必要があるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： lord2blue 回答日時： 2010/12/22 19:03

>何故このような仮説を立てる必要があるのですか？

私はAの所持金とBの所持金をaとかbとおいてしまう方がわかりやすいですけどね。
そうしないのは出題対象やらの関係でしょうか。
もしくは、「こんな考え方ならわかりやすいんじゃない？」っていう解説者側の思い込みのせいですね。

>何故金額の差が2－1＝1に相当するのだかわかりません。
私は「3－2＝1」に相当すると思うのですが・・・。なぜでしょうか。


解説の解説

Aの所持金：Bの所持金＝3：1


（ここから仮定の話）
Aのもらった金額：Bのもらった金額＝3：1

だったら、最終的な所持金も変わらず

最終的なAの所持金：最終的なBの所持金＝3：1

となる。
（ここまで仮定の話）


しかし、実際はそれぞれのもらった金額は3：1ではない。
その結果、

最終的なAの所持金：最終的なBの所持金＝2：1

になってしまった。


仮定の話と、実際の話の差を考えよう。
上記の「仮定の話」で仮定した

Aのもらった金額：Bのもらった金額＝3：1

をもっと具体的に、かつ実際の話と比較しやすいようにする。

じゃ今回の「仮定の話」の中では、実際Bがもらった金額「4100円」はそのままに、
Aがもらった金額を「4100円」の3倍の「12300円」もらったことにしよう。


「仮定の話」でAがもらった金額・・・12300円　　→最終的な所持金比・・・A：B＝3：1
　実際の話　でAがもらった金額・・・ 4800円　　→最終的な所持金比・・・A：B＝2：1


この二つを比較する。
Aのもらった金額の差は7500円。
7500円多くもらった「仮定の話」のAの所持金はBの「3倍」。
実際のAの所持金はBの「2倍」。

（Bは仮定の話でも実際の話でも所持金は同じなので、現在のBの所持金を1とすると、「仮定の話」のAの所持金は「3」、実際の話のAの所持金は「2」）

つまり、7500円は「3」－「2」＝1・・・現在のBの所持金（2行上で1としていた）


以下略。

ちなみに、今回の「仮定の話」ではBのもらった金額をそのままの4100円にしました。
が、Aのもらった金額を4800円のままにして、Bのもらった金額を1600円にしても解けます。

そうすると、Aの最終的な所持金を1とした時、
4100円－1600円＝2500円が1/2－1/3＝1/6に相当するので
2500×6＝15000・・・Aの最終的な所持金
15000－4800＝10200・・・Aの最初の所持金
10200÷3＝3400・・・Bの最初の所持金

となりますね。こっちの方が分数なんか出てきてちょっと面倒ですね。


だいぶくどく説明しました。分かりにくかったら申し訳ない。

この回答への補足

丁重なご回答ありがとうございます！９割は理解できました。
１つ疑問点が。
12300円：4100円というのは、お金をもらう前の所持金の比と同じですよね。

同じ数を割っても掛けても比が変わらないことはわかるのですが、同じ比の数を足しても比が変わらないのが僕の疑問点です。
何故ですか？
多分僕の基本がかけているのだと思います、、ごめんなさい。

補足日時：2010/12/22 22:20

No.3 回答者： lord2blue 回答日時： 2010/12/23 01:19

No.2の回答者です。

>同じ数を割っても掛けても比が変わらないことはわかるのですが、同じ比の数を足しても比が変わらないのが僕の疑問点です。
>何故ですか？

たとえば、
a、b、x、yが自然数だとすれば

ax：bx＝ay：by＝a：b

です。

ax：bx

に、同じ比の数

ay：by

を足すと、

ax＋ay：bx＋by＝a(x＋y)：b(x＋y)＝a：b

で比は変わりません。


私の解説の解説内の「仮定の話」の数で考えれば、
10200：3400＝3×3400：1×3400＝3：1（AB最初の所持金比）
12300：4100＝3×4100：1×4100＝3：1（ABのもらった金額比）

　10200＋12300：3400＋4100
＝3×3400＋3×4100：1×3400＋1×4100
＝3×（3400＋4100）：1×（3400＋4100）
＝3×7500：1×7500
＝3：1

で、比は変わらない。と。

分かりにくかったらごめんなさい。

No.1 回答者： gurikoro 回答日時： 2010/12/22 18:50

たしかに、なんでこんな解説してるんでしょうねぇ・・・

それが教科書だとしたら、かなり疑問な気がします。

質問１については、おそらく A=3B からBを引いたら2Bなのでしょうか？

質問２については、まぁ、仮説というか蛇足な気がします。

問題自体は、

A=3B と置いて、
(A+4800) : (B+4100) = 2:1

を解くだけで、計算できてしまうので、難しくはないのですけどね・・・