意訳をお願いします

8.4.1 Inversion Preserves Angles Between Lines
Suppose AB and CD are two lines in the plane that intersect at the point P. If they
are inverted in a circle with center O, we will show that the resulting gures make the
same angle with each other.
The easiest case is if O, the center of　inversion, happens to be the same as P.
Since both lines pass through the center　of inversion, they are transformed into
themselves so their images trivially have　the same angle between them.
If the center of inversion is not on　one of the lines (but it may be on the
other), then the line that does not contain　the center will be inverted to a circle
passing throughO. Suppose O is not　on AB. Consider the line OX passing
throughO that is parallel to AB . Under inversion, OX is transformed
transformed
into itself (since it passes through the center of inversion), and AB is inverted
into a circle K passing through O. Then OX must be tangent to K, since it touches
K at O, and if it intersected K in more than one place, OX and AB would intersect,
which is impossible since they are parallel.
If O is on CD, then CD is inverted to itself, and its angle with OX is clearly
unchanged (OX is also inverted into itself). But CD makes the same angle with OX
as with AB since they are parallel, so the inverses of AB and CD make the same
angle.
Finally, if O is on neither line, then both AB and CD are inverted to circles that
meet at O, and the lines tangent to those circles at O (OX and OY in the gure) are
parallel to the original lines, so they make the same angles as did the original lines.

No.2 ベストアンサー 回答者： cozycube1 回答日時： 2011/01/15 11:19

「8.4.1 相反は、交差する線の成す角度を保存する

線分ABと線分CDが点Pで交わるとする。Oを中心とする円内でそれらが相反するなら、得られた図形が互い同じ角度になることを示そう。
最も単純な場合を考える。相反の中心点である点Oが点Pと重なるとする。
二つの線分が相反の中心点を通るので、二つの線分はそれら自身に変換され、単純に互いに成す角度は同じになる。
相反の中心点が一方の線分上にない場合（ただし、もう一方の線分上にあってもよい）、中心点を含まない線分は、点Oを通る円に変換される。Oが線分AB上にないとする。点Oを通り線分ABに平行な線分OXを考える。相反すると、線分OXはそれ自身に変換され（なぜなら、相反の中心点を通るので）、線分ABは点Oを通る円Kに変換される。
すると線分OXは円Kに接線でなければならない。なぜなら、それは点Oにおいて円Kに接しており、もし円Kに2箇所以上で交わるならば、線分OXとABも交わり、それらが平行ということに反するからである。
点Oが線分CD上にあるなら、線分CDはそれ自身に変換され、それが線分OXと成す角度は明らかに不変である（線分OXもまたそれ自身に変換される）。しかし、線分CDは線分ABと平行であるので、線分ABが線分OXと成す角度と同じ角度を線分OXに対し成す。故に、線分ABと線分CDの反転は、同じ角度を保持する。
最後に、点Oが線分ABと線分CDのどちらの線分上にもない場合、線分ABと線分CDは、点Oで接するような二つの円に変換される。点Oにおいてそれらの円に接する線分（OXとOYは図を参照）は、元の線分と平行である。故に、それらの線分が成す角度は、元の線分が成す角度と等しい。」

ということらしいです。gureはfigureのtypoと解釈しました。変換は射影かもしれません。後は数学カテで確認してください。

No.1 回答者： wy1 回答日時： 2011/01/15 10:56

ちゃんと料金を払って翻訳依頼すべき長さと内容だと思います。