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△ABCの2辺AB、ACを一辺とする正三角形ABP、ACQを△ABCの外側に書き、
辺BCを一辺とする正三角形BCRを辺BCに対し点Aと同じ側に書く。
(△ABCが正三角形であってはならない)

このとき四角形APRQが平行四辺形となることを証明せよ。


この問題の解法が分かりません。角度のゴリ押しでも分からないので困っています。

分かる方がいれば、教えてくださいお願いします…

A 回答 (3件)

△PBRとABCに着目すると、


PB=AB
RB=CB
∠PBR=∠ABC (いずれも60°-∠RBAであるから)
なので二つの三角形は合同であり、よってPR=AC=AQです。

同様に△RQCとBACに着目すると
RC=BC
QC=AC
∠RCQ=∠BCA (いずれも60°+∠ACRであるから)
なので二つの三角形は合同であり、よってRQ=BA=PAです。

以上より向かい合う二辺の長さが等しいのでAPRQは平行四辺形です。

△ABCの形によって上記のカッコ内の符号が変わるかもしれませんが、
考え方としては三角形の合同を利用して向かい合う辺の長さが等しい
事を示すことで証明できます。
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No2で回答した者です。

合同の記述で角度のことを書くのを忘れてました。

投稿している間にNo1様が投稿されており、同じ方法で間違いなく解かれているようなので、No2の回答は無視して下さい。

大変失礼致しました。
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下の添付図を参照して下さい。



ABPは正三角形なのでAB=BP
BCRは正三角形なのでBC=BR

従って三角形BPRは元の三角形ABCと合同です。

かつ、AC=AQであることからAQ=PRと分かります。

同様に、三角形CQRも三角形ABCと合同であり、かつAB=APなので、AP=QRと分かります。

以上、『2組の対辺はそれぞれ等しい』ので四角形APRQは平行四辺形です。

以上です。
「中学数学の図形 証明」の回答画像2
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