No.5ベストアンサー
- 回答日時:
三角関数を使わない方法を記します。
下の添付図を参照して下さい。赤線が補助線です。>∠Aの二等分線が、辺BCと交わる点をDとすると、AD=いくつか?
左の図のように、角AEB=90°となるよう点Eを作ります。すると三角形BAEは30°、60°、90°の直角三角形となるのでAE:AB=1:2よりAE=3と分かります。角DAC=60°、AC=3なので三角形EACは正三角形です。
従ってABとCEは平行です(ACに対して60°)。従って三角形DABとDECは相似と分かります。長さの比はAB:CE=2:1です。
従ってAD:ED=2:1より、AD=2と分かります。
>頂点Aより辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、AH=いくつか?
右の図のように角AGBが90°となるように点Gを作ります。三角形BGAは30°、60°、90°の直角三角形なので、GA:AB:GB=1:2:√3よりGA=3、GB=3√3と分かります。
従って三角形BGCの面積は(1/2)×6×3√3=9√3です。
線BCの長さは
BC^2=6^2+(3√3)^2
=36+27
=63
BC=3√7
です。従って点GからBCへの垂線(緑線)は三角形BGCの底辺BCに対する「高さ」なので
(1/2)×3√7 × 高さ = 9√3
より
高さ=(18√3) / (3√7)
=(6√21) / 7
です。
上記の「高さ」とAHの比はCG:CA=2:1と同じなので
AH=(3√21) / 7
以上が答えとなります。
回答をいただき、ありがとうございました。
わざわざ添付図まで付けていただけたので、とても良く分かりました。
三角関数を使わない方法もあるなんて知りませんでした。(覚えていなかっただけかも知れませんが。)
いただいた回答を参考にさせていただき、きちんと復習をして
頭に入れたいと思います。
本当にありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
余弦定理を使わない場合
・∠Aの二等分線が、辺BCと交わる点をDとすると、AD=いくつか?
Hから辺ABに下ろした垂線の足をE、辺ACに下ろした垂線の足をFとすると、
AE=AF=(1/2)AD
DE=DF=(√3/2)AD
BD^2=BE^2+DE^2=(6-AE)^2+DE^2=36-12AE+AE^2+DE^2=36-6AD+AD^2
CD^2=CF^2+DF^2=(3-CF)^2+DF^2=9-6CF+CF^2+DF^2=9-3AD+AD^2
また、∠Aの二等分線の性質より、
BD:CD=AB:AC=6:3
よって、
(36-6AD+AD^2)/(9-3AD+AD^2)=(6/3)^2=4
これを解くと、
AD=2
・頂点Aより辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、AH=いくつか?
前の問題の解答から、
BD^2=36-6AD+AD^2=28
CD^2=9-3AD+AD^2=7
なので、
BC=√28+√7=3√7
AH^2=AB^2-BH^2=36-BH^2
AH^2=AC^2-CH^2=9-(3√7-BH)^2=-54+6√7BH-BH^2
よって、
-54+6√7BH=36
BH=15/√7
AH^2=36-BH^2=36-225/7=27/7
よって、
AH=3√21/7
わかりやすい回答をいただき、ありがとうございます。
自分の考え方が間違っていた事が、よく分かったのできちんと頭に入れて
勉強し直します。
本当にありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
しまった。
計算ミスです。△ABCの面積は
AB*Ac*sin120°/2 であり、BC*AH/2 でもあります。
よって両者を等しいとおき数値を代入すると
6*3*√3/2=3√7*AH (左辺に/2が抜けていました)
AH=3√3/√7
=3√21/7
No.2
- 回答日時:
△ABC=△ABD+△ADC(面積の公式s=(1/2)bcsinAを使ってください)
×を*にしています
(1/2)*AB*AC*sinA=(1/2)*(AB*AD+AC*AD)*sin(A/2)
(1/2)*6*3*sin120°=(1/2)*(6AD+3AD)*sin60°
9*(√3/2)=(1/2)*9AD*(√3/2)
1=(1/2)AD
AD=2
余弦定理を使って
BC^2=6^2+3^2-2*6*3*cos120°
=36+9-36*(-1/2)
=45+18
=63
第二余弦定理を使って
cosB=((√63)^2+6^2-3^2)/(2*6*√63)
=(63+36-9)/12√63
=90/(12√63)
=5/(2√7)
sin^2B=1-cos^2B
=1-25/28
=3/28
sinB=√3/√28
AH=AB*sinB
=6*(√3/√28)
=3√21/7
詳しい回答を、ありがとうございました。
自分の考えていた計算の仕方が、全く違っていました。
きちんとやりなおして、頭に入れたいとおもいます。
本当にありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
ADは∠Aを二等分しているので、DからAC,ABに下ろした垂線の長さは等しくなります。
ということは、△ABDと△ACDの面積の比は2:1です。よって、BDとDCの長さの比は2:1です。余弦定理より
BC^2=AB^2+AC^2-2AB・ACcos120°
=36+9+2*6*3*1/2
=63
BC=3√7なので BD=2√7 ・・・(1)
さらに余弦定理を使うと
BD^2=AB^2+AD^2-2*AB*ADcos60°
28=36+AD^2-6AD
AD^2-6AD+8=0
(AD-2)(AD-4)=0
ここでAD=4とすると三角形ACDについて
CD^2=AD^2+AC^2-2*AD*AC*cos60°
=16+9-2*4*3*1/2
=13
よりCD=√13となり(1)に反するのでAD=2
△ABCの面積は
AB*Ac*sin120°/2 であり、BC*AH/2 でもあります。
よって両者を等しいとおき数値を代入すると
6*3*√3=3√7*AH
AH=6√3/√7
=6√21/7
回答を、ありがとうございました。
分かり易く答えてくださり、本当に感謝いたします。
きちんとやりなおして、頭に入れたいと思います。
本当にありがとうございました。
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