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No.1
- 回答日時:
x^2-2x+1=(x-1)^2
e^x+e^{-x}+2=(e^{x/2}+e^{-x/2})^2
x^2+2x+1=(x+1)^2
e^x+e^{-x}-2=(e^{x/2}-e^{-x/2})^2
↓
f(x)=√{(x^2-2x+1)(e^x+e^{-x}+2)}+√{(x^2+2x+1)(e^x+e^{-x}-2)}
=√{(x-1)^2(e^{x/2}+e^{-x/2})^2}+√{(x+1)^2(e^{x/2}-e^{-x/2})^2}
=|x-1|(e^{x/2}+e^{-x/2})+|x+1||e^{x/2}-e^{-x/2}|
x<-1
↓
f(x)
=(1-x)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{x/2}-e^{-x/2})
=2e^{x/2}-2xe^{-x/2}
-1≦x<0
↓
f(x)
=(1-x)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{-x/2}-e^{x/2})
=2e^{-x/2}-2xe^{x/2}
0≦x<1
↓
f(x)
=(1-x)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{x/2}-e^{-x/2})
=2e^{x/2}-2xe^{-x/2}
1≦x
↓
f(x)
=(x-1)(e^{x/2}+e^{-x/2})+(x+1)(e^{x/2}-e^{-x/2})
=2xe^{x/2}-2e^{-x/2}
∫e^{x/2}dx=2e^{x/2}
∫e^{-x/2}dx=-2e^{-x/2}
∫xe^{x/2}dx=2xe^{-x/2}-2∫e^{x/2}dx=2xe^{x/2}-4e^{x/2}=2(x-2)e^{x/2}
∫xe^{-x/2}dx=-2xe^{-x/2}+2∫e^{-x/2}dx=-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}=-2(x+2)e^{-x/2}
∫_{-1~1}f(x)dx
=∫_{-1~0}(2e^{-x/2}-2xe^{x/2})dx+∫_{0~1}(2e^{x/2}-2xe^{-x/2})dx
=2∫_{-1~0}e^{-x/2}dx-2∫_{-1~0}xe^{x/2}dx+2∫_{0~1}e^{x/2}dx-2∫_{0~1}xe^{-x/2}dx
=-4[e^{-x/2}]_{-1~0}-4[(x-2)e^{x/2}]_{-1~0}+4[e^{x/2}]_{0~1}+4[(x+2)e^{-x/2}]_{0~1}
=-4+4e^{1/2}+8-4e^{-1/2}-8e^{-1/2}+4e^{1/2}-4+4e^{-1/2}+8e^{-1/2}-8
=8e^{1/2}-8
∫_{-2~2}f(x)dx
=∫_{-2~-1}f(x)dx+∫_{-1~1}f(x)dx+∫_{1~2}f(x)dx
=∫_{-2~-1}(2e^{x/2}-2xe^{-x/2})dx+8e^{1/2}-8+∫_{1~2}(2xe^{x/2}-2e^{-x/2})dx
=4[e^{x/2}]_{-2~-1}+4[(x+2)e^{-x/2}]_{-2~-1}+8e^{1/2}-8+4[(x-2)e^{x/2}]_{1~2}+4[e^{-x/2}]_{1~2}
=4[e^{-1/2}-e^{-1}]+4e^{1/2}+8e^{1/2}-8+4e^{1/2}+4[e^{-1}-e^{-1/2}]
=16e^{1/2}-8
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