連続６項の漸化式

Question

P(n+6)={P(n+5)+P(n+4)+P(n+3)+P(n+2)+P(n+1)+P(n)}/6
という連続する６項の漸化式の解き方がわかりません。

次のような連続２項の漸化式なら
P(n+2)=a*P(n+1)+b*P(n)

x^2=ax+b
の解をα、βとして
P(n+2)-αP(n+1)=β{P(n+1)-αP(n)}
として、P(n+1)-P(n)=A(n)とでも置いて
A(n+1)=βA(n)
として解くことができます。

連続６項の時も同じようにxの６次方程式を解いて
計算することができるのでしょうか？

よろしくお願いします。

ramayana · Accepted Answer

f(X)=6X^5+5X^4+4X^3+3X^2+2X+1の根が代数的に解けるかどうかは、f(X)のガロア群が可解群かどうかを調べれば分かります。

ガロア群を決定するのは一般には面倒なのですが、今回のケースでは、下の参考に示すように、5次対称群になります。5次対称群が可解群でないので、f(X)の根は、代数的に解けないことが分かります。

（参考）

f(X)のガロア群をGと置きます。Y=1/Xをf(X)に代入して、分母を払うと、次のh(Y)を得ます。h(Y)のガロア群もGです。

h(Y) = Y^5+2Y^4+3Y^3+4Y^2+5Y+6

h(Y)は、mod11でみても既約です（次数が2以下の多項式が有限個しかないので、それでh(Y)が割り切れるかどうかをすべて試してみればよい）。したがって、Gは、位数5の巡回群を含みます。

また、mod19で、h(Y)は、次のように既約な2次式と3次式に因数分解されます：

h(Y) = (Y^2+7Y+3)(Y^3+14Y^2+16Y+2)  mod19

したがって、Gは、位数6の巡回群（位数2の巡回群と位数3の巡回群の直積）を含みます。

5次対称群の部分群で、位数5の巡回群と位数6の巡回群の両方を含むものは、5次対称群しかありません。したがって、Gは、5次対称群です。

alice_44 · Answer

[1]　(X - 1)(6X^5 + 5X^4 + 4X^3 + 3X^2 + 2X + 1) = 0
の X = 1 以外の解は、代数的に表示できないから、
一般項を書き下す方法がなく、近似式しか立てられない。

五次以上の方程式に解公式がないことが問題点であり、
連接４項以下の漸化式ならば、厳密に解くことができる。

ramayana · Answer

「連続６項の時も同じようにxの６次方程式を解いて計算することができるのでしょうか？」

⇒　はい、その通りです。

このケースでは、

[1]  X^6-(X^5+X^4+X^3+X^2+X+1)/6 = 0

という方程式を解きます。この根をa,b,c,d,e,fとします：

a ＝ 1
　　b ≒ -0.67033205
　　c ≒ -0.375695-0.5702i
　　d ≒ -0.375695+0.5702i
　　e ≒ 0.294195-0.66837i
　　f ≒ 0.294195+0.66837i

すると、一般項P(n)は、適当な定数A,B,C,D,E,Fを使って、

P(n) = A+Bb^n+Cc^n+Dd^n+Ee^n+Ff^n

と表すことができます。初期条件P(1),P(2),P(3),P(4),P(5),P(6)が分かっていれば、これらを上の式に代入して、A,B,C,D,E,Fの連立方程式とみて解くことにより、A,B,C,D,E,Fを具体的に求めることができます。

同様な方法は、漸化式が一次式であって、[1]式のような方程式が重根を持たないときに、一般的に有効です。重根を持つときは、やや手順が違いますが、解く方法があります。

どうしてこのような方法で一般項が求められるかということについては、「漸化式を行列で表現したときの、係数行列の固有値が[1]式の根である」という事実に基づきます。詳しい説明は省きます。

f(X)=6X^5+5X^4+4X^3+3X^2+2X+1の根が代数的に解けるかどうかは、f(X)のガロア群が可解群かどうかを調べれば分かります。