積分の具体的な計算ができるかどうかの判定？

たとえば、

∫(-∞,∞)exp(-t^2)dt

って具体的に計算してきれいな格好になるじゃないですか。
同じ被積分関数で積分範囲だけ変えて任意のa<bについて

∫(-a,b)exp(-t^2)dt

を計算しようとしても、一般には数値計算しかできませんよね？

あるいは、原始関数が見つかるような被積分関数とか、上の例のような二重積分を利用するもの、留数定理が使えるもの、特殊関数やうまく極限値が計算できるものなんかに帰着されるなど、何か特別の条件があるものじゃないと、うまく計算できませんよね？ここでいううまく計算できるっていうのは、積分の結果を表す数の表示が具体的に与えられるという意味で、収束判定とかコンピュータで計算できるとかじゃないです。具体的な計算はできないけど級数の形になっているものみたいに部分的に計算できるものは含めても（弱形？）含めなくてもいいです。

うまくいえないですけど、こんな風に積分を数値計算を使わずに計算できるかできないかを判定するための何らかの条件というのは、上に書いたような個別ケース以外にある程度知られているのでしょうか？ガロワ理論とかパンルヴェ方程式に相当するような体系化されたものはあるんでしょうか？

その周辺について知られていることが何かあればおしえてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： aiueo95240 回答日時： 2011/03/28 04:24

初等関数の不定積分が初等関数で表されるかの判定には、微分ガロア理論があるみたいです。

初等関数の定積分とか、ζ(3)などの特殊関数の値に関しては、超越数論が近いと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2011/03/29 12:36