離散型分布と連続型分布 - 数学 - 教えて！goo

計算の手間はあまり変わんないけど、基本的な分布の母関数が既知であれば、それらを使ってXの確率母関数を求めるやり方も。

P{X=x}=E(P{X=x | A})
だから、確率母関数Qは、
Q(t)=E(t^X)
=Σ(t^x)P{X=x}
=E(Σ(t^x)P{X=x | A})
=E(exp(-(1-t)A))　(ポアソン分布の確率母関数を使う)
で、これはA（指数分布）のモーメント母関数をMとすると
=M(-(1-t))。

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fを平均Bの指数分布の密度とすれば
P{X=x}=∫P{X=x | A=a} f(a) da
で、積分を見ると、
Yを平均B/(B+1)の指数分布に従う確率変数とするとき、
P{X=x}=E(Y^x)/(x!(B+1))
が分かる。
Yのx次モーメントからE(Y^x)/x!が分かる。

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