No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x = α が x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + … + a_n = 0 の解だというなら
α^n = -a_1 α^(n-1) - a_2 α^(n-2) - ... - a_n
ということだね.
|α|≧a+1 で, この等式は成り立つ?
ありがとうございます。
x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + … + a_n = 0
の1つの解をαとする。
max[1≦i≦n]|a_i|=a
とおく。
|α|≧a+1 と仮定すると、
α^n = -a_1 α^(n-1) - a_2 α^(n-2) - ... - a_n
よって、
|α^n|=|a_1 α^(n-1) + a_2 α^(n-2) + ... +a_n|
≦|a_1||α^(n-1)|+|a_2||α^(n-2)|+ ... +|a_n|
≦a (|α^n|- 1)/(|α|- 1)
≦|α^n|- 1
これは矛盾するので、|α|<a+1
ところで、方程式の解の絶対値の評価はこれが最善ではないと思います。
たとえば、|α|=a+0.9になることはありうるのでしょうか?
より細かく評価するにはどうすればよいのでしょうか。
上の式で等号が成り立つとき、係数はすべて同じで、
|α^n|=a (|α^n|- 1)/(|α|- 1)
ここで、正の実数t=|α|とすると、
t^(n+1)-(a+1)t^n+a=0
この方程式の正の実数解をより細かく評価するにはどうすればよいのでしょうか。
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