x,y は整数で,13579x-97531y=k (定数)を満たしている.x^2+y^2 が最小になるとき,
1222x-8777y=1
であった.k の値を求めよ.
(答)k=6, 7, 8, …,16
前回、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6703065.html
で似たような問題
x,y は整数で,13x-31y=k (定数)を満たしている.x^2+y^2 が最小となるとき,5x-12y=1 であった.k の値を求めよ.
(答)k=2, 3
をしましたので、それと同様に、
13579x-97531y=k (定数)の解を
x=97531t+8777k, y=13579t+1222k (tは整数)
として、x^2+y^2にあてはめれば今回も解けると思うのですが、今回の問題では係数が大きいので、何か特別な方法があるようなきがします。
問題形式も似ているということは、問題自体にもなんらかの目的があるような気がします。
それが分かる方はどうか教えていただけないでしょうか。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
係数が大きいからと言って、驚く事はない。
数学の基本的な考え方の一つである、より簡単なものに還元するという方法に帰ると良い。
13579(x-7y)-(2478y)=k と変形できる。
x-7y=a とすると、13579a-2478y=2478(-y+5a)-889y=k。
-y+5a=b とすると、2478(-y+5a)-889y=889(3b-y)-189b=k
3b-y=c とすると、889(3b-y)-189b=189(4c-b)-133c=k
4c-b=d とすれば、189(4c-b)-133c=133(d-c)+56d=k
d-c=eとすれば、133e+56d=56(d+2e)+21e=k
d+2e=fとすれば、56f+21e=21(e+5f)-4f=k
e+5f=gとすれば、21(e+5f)-4f=21g-4f=k となり、gとfの特別解はすぐわかる。
そうすれば、当然一般解もわかるから、後は e→ d→ と上向すれば 答えは簡単に出る。
続きは、時分でやって。
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