統計学で混乱してしまいます

統計学の授業で、次の2問が出題されました。

（1）1991年の人口動態統計によると日本人の出生時の性比は、男児：女子＝627：595であった。この母集団から10人を抽出したとき
（a）男性の人数を確率変数としたとき、その確率分布はどう表わされるか［X～B（10、0.513）］
（b）男性は平均何人か。また分散はいくらか。［5.13、2.5］
（c）男性が3人である確率はいくらか。また、女性が3人である確率はいくらか［0.105、0.130］


（2）昨年、ある自治体の交通事故による死者は1日当たり平均3人であった。
（a）死者数を確率変数としたとき、その確率分布はどう表わされるか。［P（X＝n）＝{e^(-3)・3^n}/n!］
（b）1日当たり3人の死者が出る確率はいくらか［0.224］
（c）1日当たり3人以上の死者が出る確率はいくらか［0.575］


※［　］は解答です。

まず、（1）は二項分布で（2）はポアソン分布だと思うのですが、その違いがわかりません。
問題分のどこを見れば二項分布なのかポアソン分布なのかが分かるのでしょうか。
（そもそも二項分布とポアソン分布の違いを自分が理解できていないのが原因かと思います；）

次に（1）の（a）について、答えがX～B（10、0.513）となっていますが
この10は抽出した10人のことですか？なぜX～B（n、p）のnが10なのでしょうか。
また、0.513はどのように求めるのでしょうか？
いろいろ計算したところ、627/(627+595)=0.513となりました。
これは新生児1222人から1人選んだら男児だったときの確率だと思うのですが
それでよいのでしょうか？

最後に、（1）と（2）のどちらも（c）の求め方が分かりません。
（2）の（c）は1－（死者が1人の確率）-（死者が2人の確率）で出ますか？
間違っていたら訂正をお願いします。


大学で専門ではない統計学をかじっている程度なので
まったく理解できていないのにどんどん先へ進んでしまってつらいです。
拙い表現でうまく質問できていない部分があるかもしれませんが
お力添えをよろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2011/05/25 16:13

> まず、（1）は二項分布で（2）はポアソン分布だと思うのですが、その違いがわかりません。

> 問題分のどこを見れば二項分布なのかポアソン分布なのかが分かるのでしょうか。

問題分の全部をみて判断します。二項分布とポアソン分布の違いですぐにわかるのは確率変数のとる値の範囲です。
二項分布では，この例の場合は，X=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10がとりうる値の範囲になりますが，ポアソン分布ではX=0,1,2,3,4,...と無限大までの範囲をとることが出来ます。厳密にいえば，ある自治体の交通事故による一日の死者は，その自治体にいる人の数が上限で無限大ではありませんが，実際上は多数であるので無限大とみなすことが可能で，したがってポアソン分布とみなすことが出来ます。

> この10は抽出した10人のことですか？なぜX～B（n、p）のnが10なのでしょうか。

n=10であるのは抽出したのが10人だからです。「結果が成功か失敗のいずれかである n 回の独立な試行を行ったときの成功数」が二項分布になるのですからn=10でしょう。ここで成功か失敗というのが男か女かということで，n 回の独立な試行というのがn人を抽出するということです。

> また、0.513はどのように求めるのでしょうか？いろいろ計算したところ、627/(627+595)=0.513となりました。これは新生児1222人から1人選んだら男児だったときの確率だと思うのですがそれでよいのでしょうか？

計算はそれで構いません。
しかし，その意味合いは「新生児1222人から1人選んだら男児だったときの確率」から一歩進めて「新生児を一人選んだとき男児である確率」と考えてください。

> 最後に、（1）と（2）のどちらも（c）の求め方が分かりません。

男性が3人である確率= 10C3 * 0.513^3 * (1-0.513)^(10-3)
女性が3人である確率= 10C7 * 0.513^7 * (1-0.513)^(10-7)

> （2）の（c）は1－（死者が1人の確率）-（死者が2人の確率）で出ますか？

1日当たり3人以上の死者が出る確率
=1-（死者が0人の確率）-（死者が1人の確率）-（死者が2人の確率）
=1-exp(-3)*3^0/0!-exp(-3)*3^1/1!-exp(-3)*3^2/2!

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/25 22:57

確率分布は、基本的に、数学の計算で導くものではなく、

実験科学としての統計学の知識から、経験的に仮定するものです。
数学が参加できるのは、その仮定が置かれた後からなのです。

(2) のような、稀な事象が一定期間内に起こる回数が
ポアソン分布によく合うことは、ポアソンがこの分布関数を提案
して以来、種々の統計資料において十分検証されています。
それを知っていて、ポアソン分布を仮定すればよいのです。
統計学が、純粋な数学の一分野ではなく、実験科学であることの
所以です。

(1) のように、より基本的な分布を統計学的に仮定し、
そこから計算で目的の分布を導くことも、たまにあります。
その場合も、確率分布は数学から湧いて出たのではなく、
最初に仮定した分布から、派生しただけなのです。
分布は、求めるのではなく、仮定する。大切なポイントです。

さて、(1) において何を仮定したかと言うと、
日本人の新生児を何人か抽出すると、各人が男児である確率は
同じ二値分布に独立に従う…と仮定したのです。

この仮定は統計学的なものであり、数学的には近似に過ぎません。
抽出する人数が新生児の全数に近くなれば、男児か女児かが
独立なはずはないのですから。

ともあれ、上のように仮定すると、その二値分布の確率を p として、
n 人抽出した中の男児の人数は、B(n,p) に従うことが計算できます。
この部分は、数学です。高校の教科書で「独立反復事象の確率」
について調べてみれば、計算の過程が書いてあるでしょう。


(1)(a) で p = 0.513 とする理由は、全新生児から一人選んだとき、
男児である割合が 627/(627+595) だからです。
627+595 人という人数には、何の意味もありません。

(2)(c) では、A No.1 に指摘されているように、
「死者が 0 人の確率」を忘れてはいけませんね。