力学の質問です - 物理学 - 教えて！goo

#2のものです。

>(4)ベルトがした仕事において、
>ベルトがした仕事=∫[0→∞]-γuVdt　を計算すると、MV^2になりました。
>よって、MV^2-(1/2)MV^2=(1/2)MV^2が摩擦熱として失われたということでよいですか？

それでよいと思います。

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>初期条件としてt=0のときx=0としないのはどうしてですか？

おっしゃる通りで，私の誤りです。

仕事については再考してみたいと思います。

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(3)までは#1のおっしゃるとおり。

(3)の別解と(4)について
仕事=∫[始点→終点])力dx
ですので
ブロックになされた仕事=∫[始点→終点]-γudx
この積分はこのままでは無理なので時間の積分に変換すると
ブロックになされた仕事=∫[0→∞]-γu(dx/dt)dt=∫[0→∞]-γuvdt
これに(2)までに得られた式を入れると求めることが出来ます。

(4)ベルトがした仕事
上の式でdx/dtのところがベルトの速度Vになります。力の向きが逆になりますが、今度は"した仕事"になるため符合が逆転することを考慮すると同じような式でよい。
ベルトがした仕事=∫[0→∞]-γuVdt
となります。この積分は収束しますが(3)の結果とは違う値になります。

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ブロックの運動方程式は，

M dv/dt = -γu

v = u + V を代入して，uに対する運動方程式は，

M du/dt = -γu

t=0 で u = -V を考慮して解くと，

u = -V exp(-γt/M )

∴v = V { 1 - exp(-γt/M ) }
　x = V{ t + M/γ exp(-γt/M ) }

ブロックに与えられる仕事は，MV^2/2
コンベヤーがする仕事は，t → ∞により，∞

摩擦力による負の仕事によって摩擦熱として散逸した。

という具合でしょうか？

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