袋に赤２、青５、白１０個の玉が入っていて

袋に赤２、青５、白１０個の玉が入っていて、 一つとって確認し、また戻すを繰り返すとき
赤が合計３回出るまでに、青と白の出た回数の確率はなんぞや。

という問題はどう解けばいいのでしょうか。

No.3 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/06/21 17:29

赤が最後で

そこまででN回引いたとして
赤２回青ｎ回白ｍ回の並びは
NC2*N-2Cn*N-n-2Cm通りあってそれぞれの確率は(2/17)^2*(5/17)^n*(10/17)^m
青ｎ回白ｍ回の確率は
NC2*N-2Cn*N-n-2Cm*(2/17)^2*(5/17)^n*(10/17)^m

例えば青ｎ回は
Σ[k=0, ∞](n+2+k)C2*(n+k)Cn*kCk*(2/17)^2*(5/17)^n*(10/17)^k
=Σ[k=0, ∞](n+2+k)!/(2!n!k!)*(10/17)^k*{(2/17)^2*(5/17)^n}
=Σ[k=0, ∞](n+2)C2*(n+2+k)C(n+2)*(10/17)^k*{(2/17)^2*(5/17)^n}
を計算します

No.2 回答者： chie65535 回答日時： 2011/06/21 14:22

＞青と白の出た回数の確率はなんぞや。

この部分が意味不明（問題として成り立ってない）です。

ここは「青または白が１回以上出る確率」とか「青が１回だけ出る確率と、白が１回だけ出る確率」とかって問題文じゃないといけない筈です。

仮に「赤が合計３回出るまでに、青や白が１回以上は出る確率」を求める問題だと仮定します。

玉を１回取り出す時の、各色が１個以上出る確率は

赤＝２／１７
青＝５／１７
白＝１０／１７

です。

玉を３回取り出す時、同じ色が３回連続で出る確率は

赤＝（２／１７）の３乗
青＝（５／１７）の３乗
白＝（１０／１７）の３乗

です。

「赤が合計３回出るまでに、青や白が１回以上は出る確率」とは「玉を３回取り出す時、赤が３回連続で出て来ないで、青や白が混ざる確率」と言い換え出来ます。

これの逆の確率「赤が合計３回出るまでに、青も白も出ない確率」とは「玉を３回取り出す時、赤が３回連続で出る確率」になります。

ですので

１－（２／１７）の３乗

が「赤が合計３回出るまでに、青や白が１回以上は出る確率」になります。

計算すると、約99.84％になります。

この確率だと、同じ実験を約620回以上続けていると「いきなり赤が３つ連続して出て、青も白も１個も出ない」って事が起きます。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/21 13:40

こんにちは。

難しいですね。

赤を●、それ以外を○と書くと、

３回目で終わる
●●●
確率ｐ3　＝　（２／１７）^3
青が出る回数　＝　０
白の出る回数　＝　０

４回目で終わる
×××●　で、×××の中に●が２個、○が１個
確率ｐ4　＝　3Ｃ2・（２／１７）^2・（１５／１７）・（２／１７）
青が出る回数4　＝　ｐ4×５／１７
白が出る回数4　＝　ｐ4×１０／１７

５回目で終わる
××××●　で、××××の中に●が２個、○が２個
確率ｐ5　＝　4Ｃ2・（２／１７）^2・（１５／１７）^2・（２／１７）
青が出る回数5　＝　ｐ5×５／１７×２
白が出る回数5　＝　ｐ5×１０／１７×２

６回目で終わる
×××××●　で、×××××の中に●が２個、○が３個
確率ｐ6　＝　5Ｃ2・（２／１７）^2・（１５／１７）^3・（２／１７）
青が出る回数6　＝　ｐ6×５／１７×３
白が出る回数6　＝　ｐ6×１０／１７×３

というわけで、ｎ≧４　のとき
ｎ回目で終わる
×××・・・××●　で、×××・・・××の中に●が２個、○がｎ－３個
確率ｐn　＝　(n-1)Ｃ2・（２／１７）^2・（１５／１７）^(n-3)・（２／１７）
青が出る回数n　＝　ｐn×５／１７×（ｎ－３）
　＝　(n-1)Ｃ2・（２／１７）^3・（１５／１７）^(n-3)×５／１７×（ｎ－３）
　＝　（ｎ－１）（ｎ－２）÷２×（２／１７）^3・（１５／１７）^(n-3)×５／１７×（ｎ－３）
白が出る回数n　＝　青が出る回数n　×　１０／５　＝　青が出る回数n　×　２

青が出る回数（の合計）
　＝　Σ[n=4⇒∞]（ｎ－１）（ｎ－２）÷２×（２／１７）^3・（１５／１７）^(n-3)×５／１７×（ｎ－３）
　＝　Σ[k=1⇒∞]（ｋ＋２）（ｋ＋１）ｋ／２・（２／１７）^3・（１５／１７）^k・５／１７
　＝　１／２・（２／１７）^3・５／１７・Σ[k=1⇒∞]（ｋ＋２）（ｋ＋１）ｋ・（１５／１７）^k
　＝　５×２^2／１７^4・Σ[k=1⇒∞]（ｋ＋２）（ｋ＋１）ｋ・（１５／１７）^k

そして、
白が出る回数（の合計）　＝　青が出る回数（の合計）　×　２

どっか間違えていたらすみません。