すいません。煮詰まりました。
Biot-Savart関連で、磁場をHとして、rotH=0を求めようと思いました。H=rotAでベクトルポテンシャルを導入し、
rot(rotA)=∇(divA)-ΔA=0 (1)
となります。Aに∇φ分の不定性があるのは理解しています(φはスカラー)。それでdivA=0でAを固定し、
ΔA=0
を、原点について等方的なときに解いて、
A(r)=-C/|r| (1)
を得ました。rは位置ベクトルで、Cは定数ベクトルです。検算すると、
rot(rot(-C/|r))=rot(Cr/|r|^3)=Cdiv(r/|r|^3)=C(3/|r|^3-3|r|^2/|r|^5)=0
となりました。もちろんr=0は除外して考えています。
そうすると、
∇(divA)-ΔA=rot(rotA)=0
なので、ΔA=0から、
∇(divA)=0
となって文句ないのですが、Aの具体的な形(1)を使用すると、
divA=-C・∇(1/|r|)=C・r/|r|^3
となり、とてもdivA=0(または定数)になるとは思えません。「・」は内積を表します。∇(divA)=0?、についても同様です。
どこで間違ったのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
とりあえず、
>rot(rot(-C/|r))=rot(Cr/|r|^3)=Cdiv(r/|r|^3)=C(3/|r|^3-3|r|^2/|r|^5)=0
この計算は間違えていますね。
ベクトルをC↑のように表すことにすると、
rot(-C↑/|r|)
= -grad(1/|r|) × C↑
= r↑×C↑/|r|^3
よって、
rot(rot(-C↑/|r|))
= rot(r↑×C↑/|r|^3)
= (div(r↑/|r|^3))C↑ - (C↑・grad)(r↑/|r|^3)
= - (C↑・grad)(r↑/|r|^3) (第一項はゼロになるので)
ただし、(C↑・grad)(r↑/|r^3|)は、(C_x ∂/∂x + C_y ∂/∂y + C_z ∂/∂z)(r↑/|r|^3) の意味です。
どの式変形も、一般的に知られているベクトル解析の公式を使えば出ます。
この回答への補足
ありがとうございます。
まずrot(-C/|r|)=C×r/|r|^3で、×を書き忘れていました。ご指摘の通りです。
テンソル記法で展開して、
∇×(b×c)=(∇・c)b-(∇・b)c-(∇c)b+(∇b)c
を確認しました。(∇bと∇cは、bとcのヤコビ行列)
a×(b×c)=(a・c)b-(b・b)c (1)
を単純に当てはめたのが原因です。そうですよね。(1)のaが∇の場合、微分演算と成分を、交換できないところが出ますよね。
安易でした、
おかげさまで、計算ミスがわかりました。
この後、関連したもともとの疑問をアップするつもりです。
よろしければ、またお付き合い下さい。
No.2
- 回答日時:
ベクトル場として球対称が仮定されているようです。
すると、極座標系でrot A↑=( Aφ/(r tanθ), -(1/r)∂(rAφ)/∂r, (1/r)∂(rAθ)/∂r )
このrot A↑も球対称だから Aφ=0となり、結局
rot A↑=( 0, 0, (1/r)∂(rAθ)/∂r )
つぎに、div A↑を極座標系で考えると、同様に第2項の Aθ/(r tanθ)がθに無関係、すなわち、Aθ=0 をえる。
すなわち、 A↑はAr成分しかなく、rot A↑=0でこれのrotも0.
さらに、rot(rotA)=∇(divA)-ΔA=0だから、∇(divA)=ΔA
この式を球座標で解くと、Ar=0 を得ます。すなわち、A↑=0。
この回答への補足
ありがとうございます。
∇(divA)=ΔAを解いた事はありませんが、A=0の結果は信じます。質問文に挙げたAの形だと、rot(rotA)=0になる先入観があったので、計算ミスし、∇(divA)=0にならないのは、どうして?、となった訳です。
divA≠0なのも気になりますが、ゲージの話なので、別途考える気でいます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 ベクトル解析 ガウスの定理 問題 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,0,0)を頂 7 2023/07/18 21:43
- 物理学 とても難しい 問題 ベクトル解析 1 2022/12/09 16:38
- 工学 電磁気学 電界の強さ 3 2022/05/12 16:38
- アイドル・グラビアアイドル 元AKB48について 1 2022/08/13 15:56
- 物理学 ベクトルと座標系につきまして 1 2022/04/03 06:23
- 物理学 角速度ベクトルにつきまして 3 2022/08/09 15:44
- 物理学 電磁気 肉厚が極めて薄く、無限に長い半径aの円筒状導体に定常電流が一様に流れ ている。 アンペールの 3 2023/07/13 12:36
- 物理学 角運動量の定義式 4 2022/12/18 05:36
- 工学 電磁気学の質問です。 電流による電磁束密度ベクトルポテンシャルの計算ですが、ベクトルポテンシャルのポ 1 2022/04/19 17:23
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
大学物理の問題について
-
ベクトル関数の概略を図示せよ...
-
波数の意味と波数ベクトル
-
基本ベクトルと単位ベクトルの...
-
速度ベクトルの単位の書き方
-
2つのベクトルA=2i+5j+4...
-
電荷と電束、磁荷と磁束について
-
合速度について(初歩質問)
-
三相交流の仕組みが調べても理...
-
重心と質量中心の違いについて
-
物理の力や速度は何故ベクトル...
-
物理の、速度の問題です。
-
ベクトル三重積の物理的意味に...
-
ブリュアンゾーンの物理的な意味
-
位置ベクトルのダイバージェン...
-
xy平面上の点(-a,0)に-Qが
-
運動量と角運動量の違いと慣性...
-
角速度のベクトルの方向は何故...
-
相対速度の公式v=v[a]-v[b]とい...
-
負と虚数
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
風向の平均処理
-
波数ベクトル
-
三相交流の仕組みが調べても理...
-
電荷と電束、磁荷と磁束について
-
重心と質量中心の違いについて
-
基本ベクトルと単位ベクトルの...
-
なぜ、エネルギーはスカラーで...
-
ベクトル解析と電磁気学 (r^-3 ...
-
「球面半径」と「曲率半径」の...
-
ブリュアンゾーンの物理的な意味
-
波数の意味と波数ベクトル
-
負と虚数
-
角速度のベクトルの方向は何故...
-
物理の、速度の問題です。
-
流体力学の問題です
-
「曲率」と「捩率」を質点の運...
-
ベクトルの太文字書きについて...
-
ベクトル関数の概略を図示せよ...
-
力のモーメントのつりあいで 鉛...
-
角度からベクトルって求めるこ...
おすすめ情報