主成分分析についての質問です。
主成分を求めるために、
相関行列Vから、固有値λと固有ベクトルaを求めました。
その次に第二主成分を求めるのですが、
その際に行列Vに対して、
V-λaa'=V1として、新しい行列V1を求めます。
ここが疑問点です。
Vからλaa'を引くことで、
第一主成分の要素を、
行列から引いているんだろうなーというのは
なんとなくわかります。
でも、どうしてλaa'が
第一主成分の要素を表しているのかがわかりません。
また、どうやってこの計算式(V1=V-λaa')になったのかもわかりませんでした。
多変量解析の本は何冊か読んでみたし、
ウェブもいくつか閲覧しましたが、
どこにも記述が見つからなく、困っていました。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
主成分分析とか第1主成分とか第2主成分とか知らないが
Aをn次実対称行列として
s[1],s[2],s[3],・・・,s[n]
をAの相異なる固有値の組とし
固有値s[m]に対応するAの実固有ベクトルをv[m]とし
u[m]=v[m]/√(v[m]^T・v[m])
とし
B=A-s[1]・u[1]・u[1]^T
とすると
0,s[2],s[3],・・・s[n]
はBの固有値となり
v[1]は固有値0に対応するBの固有ベクトルとなり
v[m](1<m)は固有値s[m]に対応するBの固有ベクトルとなる
このことと関係あるのでは?
なお、固有値の重複度が2以上の時にも同様のことを示すことができる
上記のことは極めて簡単に証明できることなので
知っているとは思いますが
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