回転体の体積？

　次の問題が分かりません。答えが合わないんですよ。

次の図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。

円 x^2+(y-b)^2=a^2 (0<a<b)

答えは2*π^2*a^2*bになるんですけど…。

No.1 回答者： heichan 回答日時： 2001/04/28 10:23

過程は面倒くさいですが、正統派の高校数学の問題ですね。

随分と久しぶりなのであまり自信が無いですが、簡単にやってみましょう。

設問の円の曲線を書きかえると、
y(x)=b±√(a^2-x^2)になりますね。

この回転体を平面x=xで切った時、断面積は
π((正のy)^2-(負のy)^2)なので
π^2=4πb×√(a^2-x^2)になりますよね。
これをxについて-aからaまで積分すればおしまいです。

具体的にはx=asin(θ)の置き換えをやってθを0からπ/2まで定積分して答えを２倍すれば良いでしょう。

dθ/dxを使った積分式の書き換えは大丈夫ですよね？

8πa^2b×∫(cos^2(θ))dθ の[0,π/2]の積分式が立ったでしょうか？
これはcos^2(θ)を含む式ですが(1+cos(2θ))/2に置きかえれば積分可能です。

最終的にはC(θ)=8πa^2b(θ/2+sin(2θ)/4)について
C(π/2)-C(0)を求める式になるはずです。

察する所学校か受験の問題のようですし、詳細の確認は自力でお願しますね。
一度解かれたようなので大丈夫でしょう。間違っていたらごめんなさい。
果たして本当に合っているのやら…。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。しかし，よく分からないところがあります。

>この回転体を平面x=xで切った時、断面積は
>π((正のy)^2-(負のy)^2)なので
>π^2=4πb×√(a^2-x^2)になりますよね。

この部分がどうしても分かりません。その他のところは分かったんですけど。

お礼日時：2001/04/29 15:46

No.2 回答者： ryumu 回答日時： 2001/04/28 14:25

これは、０＜ａ＜ｂなので単なるドーナッツの体積ですね。

答のチェックなら、簡単に、”重心の軌跡×断面積”から体積が分かります。
この場合、重心＝（０，ｂ）で、ｘ軸回転による重心軌跡は２πｂ。
断面積は、円の面積でπａ＾２。
よって、

　Ｖ＝ ”重心の軌跡×断面積”＝２πｂ× πａ＾２

となり、答はあってますね。
”重心の軌跡×断面積”で回転体の体積が求まるのは、割と簡単に証明できると思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。そのような公式があったとは知りませんでした。

お礼日時：2001/04/30 12:25

No.3 ベストアンサー 回答者： heichan 回答日時： 2001/04/29 16:35

リクエストにお答えして補足します。

大雑把な書き方でしたが(正のy)というのは b+√(a^2-x^2)、
(負のy)というのは b-√(a^2-x^2)のことと思ってください。
ちなみに√(a^2-x^2)は(a^2-x^2)の平方根のことです。
（コンピュータ関係ではsqrt(a^2-x^2)と書く方が一般的ですね）

ryumuさんの言われるように、この物体はドーナツ状ですよね？
これをx軸(回転軸です)に垂直な平面でスライスした断面形状を考えると、
外側の輪郭は半径が(正のy)の円、内側の輪郭は半径が(負のy)の円になります。
外側の円の面積から内側の円の面積を引いて
π(b+√(a^2-x^2))^2-π(b-√(a^2-x^2))^2
で断面積を出すわけです。展開してみてください。

私の方で何か勘違いしてる可能性もありますが、多分大丈夫でしょう。
ご確認下さい、それでは頑張って！

この回答へのお礼

　ご回答ありがとうございます。ようやく分かりました。

お礼日時：2001/04/30 12:24