確率統計の問題

X, Yは標準正規分布に従う独立な確率変数とする。
W = max(|X|, |Y|)とするとき、Wの平均を求めよ。

という問題があるのですが、解き方がわかりません。

P(W <= w) = P(max(|X|, |Y|) <= w)
= P(X <= w)P(Y <= w)

を計算し、微分してWの確率密度関数を求めればいいかと思ったのですが、
X, Yが標準正規分布に従う変数なので、P(X <= w)を計算することができませんでした。

どのようにすれば答えを導くことができるんでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2011/08/07 13:12

>ヘビサイド関数やデルタ関数を利用した解き方は全く知らなかったので、理解できてはいませんが、答えは合っているようです。

ヘビサイド関数なんて単なる表記手段なので
使わないで表現することは簡単にできるはずです
やってみると

∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫dudv:∫[-∞,∞]du・∫[-∞,∞]dv
p:X,Yの確率密度関数:p(x)=e^(-x^2/2)/√(2・π)
Q:W=max(|X|,|Y|)の確率分布関数
q:W=max(|X|,|Y|)の確率密度関数:Q'

max(u,v)<w : u<w & v<w

Q(w)
=∫∫[max(|x|,|y|)<w]dxdy・p(x)・p(y)
=∫[|x|<w]dx・∫[|y|<w]dy・p(x)・p(y)
=(∫[|x|<w]dx・p(x))^2
=(2・∫[0,w]du・p(u))^2
=4・(∫[0,w]du・p(u))^2

q(w)=Q'(w)
=8・(∫[0,w]du・p(u))・(∫[0,w]du・p(u))'
=8・(∫[0,w]du・p(u))・p(w)

E[W]
=∫dw・w・q(w)
=8・∫[0,∞]dw・w・p(w)・∫[0,w]du・p(u)
=8・∫[0,∞]dw・∫[0,w]du・w・p(w)・p(u)
=8・∫[0,∞]du・∫[u,∞]dw・w・p(w)・p(u)
=8・∫[0,∞]du・p(u)・∫[u,∞]dw・w・p(w)
=8・∫[0,∞]du・p(u)・∫[u,∞]dw・w・e^(-w^2/2)/√(2・π)
=8・∫[0,∞]du・p(u)・e^(-u^2/2)/√(2・π)
=8・∫[0,∞]du・e^(-u^2/2)・e^(-u^2/2)/(2・π)
=4/π・∫[0,∞]du・e^(-u^2)
=2/√π

この場合、積分順序の変換
∫[0,∞]dw・∫[0,w]du→∫[0,∞]du・∫[u,∞]dw
は(u,w)空間を考えて行う
この部分がh,δを使った方が機械的にできるので優れている
また、min(X,Y)などが出てくるとhを使わないとやりにくい
hは単なる表記方法なのだから使った方が楽である
∫やdxなどを使わずに微分積分を論ずることはできるが骨が折れる
のと同じである

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

とても丁寧な解説で理解することができました。
h, δの表記方法についても理解できるように考えてみます。

お礼日時：2011/08/08 12:08

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/08/07 23:00

手元で計算してみたけど, きちんと消えてくれますよ.

例えば, 標準正規分布の分布関数 P(x) に対し W の分布関数 P_W(w) は
P_W(w) = [2P(w)-1]^2
と書け, これから W の密度関数 p_w(w) が
p_w(w) = 4p(w)[2P(w)-1]
となる. W の平均がほしいので
∫[0→∞] w・4p(w)[2P(w)-1] dw = 8∫wp(w)P(w)dw - 4∫wp(w)dw
を求めるわけだが, wp(w) の原始関数が簡単にわかることに気付けば
・第1項: 部分積分
・第2項: 原始関数に突っ込む
でばらしていく.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

何か勘違いをしていたようです．．．
この方法ももう一度考え直してみます。

お礼日時：2011/08/08 12:11

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2011/08/07 07:23

h:ヘビサイド関数

δ:デルタ関数:h'
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫dudv:∫[-∞,∞]du・∫[-∞,∞]dv
p:X,Yの確率密度関数:p(x)=e^(-x^2/2)/√(2・π)
Q:W=max(|X|,|Y|)の確率分布関数
q:W=max(|X|,|Y|)の確率密度関数:Q'

h(z-max(x,y))=h(z-x)・h(z-y)

Q(w)
=∫∫dxdy・p(x)・p(y)・h(w-max(|x|,|y|))
=4・∫[0,∞]du・∫[0,∞]dv・p(u)・p(v)・h(w-max(u,v))
=4・∫[0,∞]du・∫[0,∞]dv・p(u)・p(v)・h(w-u)・h(w-v)
=4・∫[0,∞]du・p(u)・h(w-u)・∫[0,∞]dv・p(v)・h(w-v)
=4・(∫[0,∞]du・p(u)・h(w-u))^2

q(w)=Q'(w)
=8・(∫[0,∞]du・p(u)・h(w-u))・(∫[0,∞]du・p(u)・h'(w-u))
=8・(∫[0,∞]du・p(u)・h(w-u))・(∫[0,∞]du・p(u)・δ(w-u))
=8・(∫[0,∞]du・p(u)・h(w-u))・p(w)
=8・p(w)・∫[0,∞]du・p(u)・h(w-u)

E[W]
=∫dw・w・q(w)
=8・∫[0,∞]dw・w・p(w)・∫[0,∞]du・p(u)・h(w-u)
=8・∫[0,∞]du・p(u)・∫[0,∞]dw・w・p(w)・h(w-u)
=8・∫[0,∞]du・p(u)・∫[u,∞]dw・w・p(w)
=8・∫[0,∞]du・p(u)・∫[u,∞]dw・w・e^(-w^2/2)/√(2・π)
=8・∫[0,∞]du・p(u)・e^(-u^2/2)/√(2・π)
=8・∫[0,∞]du・e^(-u^2/2)・e^(-u^2/2)/(2・π)
=4/π・∫[0,∞]du・e^(-u^2)
=2/√π

まー、これだけの計算です
多分、書き間違いや計算違いはしているでしょうから、
考え方だけを取り入れてください

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ヘビサイド関数やデルタ関数を利用した解き方は全く知らなかったので、理解できてはいませんが、答えは合っているようです。

もう少し考えてみます。

お礼日時：2011/08/07 12:06

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/08/06 23:28

まじめに考えてないけど, とりあえず「計算できないからおいておく」という作戦はとれない?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

それも考えてみたのですが、やはり最後まで残ってしまうようが気がします。

お礼日時：2011/08/07 12:04