熱気球でρ＝（T．/T）ρ．の求め方について

Question

気球の下の部分には穴があって、気球内の空気圧は常に外気と等しい圧力に保つようになっている
気球の内部にはヒーターがあり、気球内の温度を調節することができる
今地表での外気の温度をＴ．、圧力をＰ．、そのときの空気の密度をρ．とする。気球の球体部分の容積は常にＶとなる、また空気は理想気体とする。

いま、気球を地面に止めておいて、気球内の空気の温度をＴ．からＴに上昇させる。この時の密度ρをもとめよ

解答は
一般に質量ｍ、体積Ｖの空気の密度ρはρ＝m/VとなるのでＶ＝m/ρと表される
質量ｍの気体についてのボイルシャルルの法則Ｐ．V．/T．=PV/Tに
Ｖ．＝m/ρ．、V＝m/ρを代入すると

P．/ρ．T．=P/ρTとなる
空気の温度を変化させても、気球内の圧力はP．のままなので
P．/ρ．T．=P．/ρTより
ρ＝（T．/T）ρ．

となると在るのですがＶ．＝m/ρ．、V＝m/ρとして解いておりますが
気球の球体部分の容積は常にＶとなるからＶは変化しないし、また質量ｍも温度が上がっても圧力が上がっても変化しないのでρ＝ρ．となるとおもったんですが

Ｖ．＝m/ρ．、V＝m/ρとして解いてよい理由を教えてください、できれば詳しくおねがいします

yokkun831 · Accepted Answer

V - V． の部分は，気球からはみだして外に出ていくと考えるわけです。
熱膨張により当然密度は減少します（V > V．だからρ<ρ．）。それによる気球全体の質量減少が気球を浮力によって浮かす要因となります。

yokkun831 · Answer

htms42様

はい，多分この問題は物理 I レベルであって物理 II まで入り込まないのです。すると，使えるのはボイル-シャルルまでなんですね。それを考慮して，物質量を変えない範囲で回答したまでです。

htms42 · Answer

ｙｏｋｋｕｎ様

＞ボイル-シャルルの法則または状態方程式を使うためには，気体の物質量を変えるわけにはいかないので

誤解されているのではありませんか

理想気体の状態方程式は　ＰＶ＝ｎＲＴ　です。
Ｐ，Ｖを変えずに温度を変えると　ＰＶ＝ｎ'ＲＴ'　です。

熱気球の場合は普通この関係を使って考えて行きます。
これは特殊な取り扱いではありません。

yokkun831 · Answer

>空気が出ていく分　球体内の体積はＶなので球体内に残った空気がまた体積Ｖまで膨張しているということですか？（結果密度が減少）

まあ，そういうことになりますが，ボイル-シャルルの法則または状態方程式を使うためには，気体の物質量を変えるわけにはいかないので，はみだした気体もとりあえず勘定に入れるわけです。

naniwacchi · Answer

こんにちわ。

実際の気球であれば、
体積が V→ V 'というよりも、
中の空気の質量が m→ m '／温度が T→ T 'と変わる
と考えた方がわかりよい気がします。

過去に気球に関する質問がありましたので、参考URLとして挙げておきます。
http://okwave.jp/qa/q5657633.html

参考URL：http://okwave.jp/qa/q5657633.html

htms42 · Answer

＞気球の下の部分には穴があって、気球内の空気圧は常に外気と等しい圧力に保つようになっている
　気球の内部にはヒーターがあり、気球内の温度を調節することができる

穴があいていなければ圧力を外部と等しく保つことはできません。
加熱によって内部の圧力が上がれば穴を通って空気が外に出て行くのです。

あなたはこの部分をどういう風に読まれたか？

V - V． の部分は，気球からはみだして外に出ていくと考えるわけです。