添付画像において
(RB/RA)・(CP/BP)・(AQ/CQ)=1 ・・・(ア)
をチェバの定理を用いて、証明しようと思っております。
そこで、△RBQにおけるチェバの定理より、
(RA/AB)・(BO/OQ)・(QH/HR)=1
面積比に直して(△AOR/△ABO)・(△BCO/△COQ)・(△AOC/△AOC)・(QH/HR)=1
整理して
(△BOC/△AOC)・(△AOC/△ABO)・(△AOR/△COQ)・(QH/HR)=1
⇔(RB/RA)・(CP/BP)・(△AOR/△COQ)・(QH/HR)=1・・・(イ)
(ア)を証明するには、(イ)と見比べて、
(△AOR/△COQ)・(QH/HR)=(AQ/CQ)・・・(ウ)
が成り立つことが必要十分。
ここで(AQ/CQ)=(△AOQ/△COQ)なので、(ウ)は
(△AOR/△AOQ)=(HR/QH) ・・・(エ)となり、
(エ)が成り立てば、(ア)が証明される。
ここからが問題なのですが、(エ)がどうしても証明できません。
『(△AOR/△AOQ)=(HR/QH)』 が証明できる方はいらっしゃらないでしょうか?
それとも私の式変形がどこか間違っているでしょうか?
よろしくお願い致します。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
(エ)の証明はもう一度チェバの定理を使えばできると思いますが、
次のような証明法ではどうですか。
(RB/RA)・(CP/BP)・(AQ/CQ)
=(△BCO/△ACO)・(△ACO/△ABO)・(△AOQ/△COQ)
=(△BCO/△ACO)・(△ACO/△ABO)・(△AOQ/△COQ)・(△CQR/△BCQ)・(△BCR/△CQR)・(△BCQ/△BCR)
=(△BCO/△ACO)・(△ACO/△ABO)・(△AOQ/△COQ)・(△AOR/△ABO)・(△ABO/△AOQ)・(△BCQ/△BCR)
=(△AOR/△ABO)・(△BCO/△COQ)・(△BCQ/△BCR)
=(RA/AB)・(BO/OQ)・(QH/HR)
=1
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