高１二次関数の問題です

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質問者：nonstylelovel
質問日時：2011/09/21 15:13
回答数：3件

高１二次関数の問題です・・。何度もかんがえたのですが
もうぜんぜんわからないので、至急おねがいします

まぇにも同じことを質問したのですが、また分からないところが浮上して。。

二次関数の問題です

関数f(x)＝－ｘ^２＋２ｘ＋２（a≦ｘ≦a＋１）最大値M（a）最小値をｍ（a）をもとめよ

これの途中まで理解できるんですが、

このグラフって上凸のグラフですよね？？
これで最小値を求める際に、二分の一を基準とするんですが、
a≦二分の一と二分の一＜aの二つに場合わけするらしいです。a≦二分の一の部分がイマイチ
わかりません

a≦二分の一の、≦だと、a=二分の一とかになったとき
定義域の両端におけるyの値が一致してしまい、
どちらを代入しても同じになってしまわないんですか？？なぜ、a＜二分の一とa=二分の一
に場合わけしないのですか

という質問に、a=1/2を取り出して、場合わけをしてもいいのですが、
a=1/2の時は、
m(a)=f(a)=f(a+1)となり、
a<1/2の時と同様に、m(a)=f(a)
と表せることに違いはないので、わざわざ場合わけをしない訳です

とありがたいことに回答をいただきました！

でも、

aは定数とする。関数 y=x²－2x＋1 (a≦x≦a＋1)について最大値をもとめよ
これにはなぜa＝二分の１とa＜二分の一とでわけるのですか

そもそも、a=1/2とa≦１/２は、a=1/2でやった場合xの変域とか普通の数字で
でてきますよね＞＜

aは定数とする。関数 y=x²－2x＋1 (a≦x≦a＋1)について最大値をもとめよ
関数f(x)＝－ｘ^２＋２ｘ＋２（a≦ｘ≦a＋１）最大値M（a）最小値をｍ（a）をもとめよ

この二つの違いってなんなんですか

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回答 (3件)

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No.3

回答者： Takihama
回答日時：2011/09/21 21:55

基本的にはNo.2様のご回答を参照されてください。

ここでは、答案の書き方という観点から説明します。

「最大値を求めよ」という問題の場合、
「yはx=○○の時に、最大値△△をとる」というような答えを書きませんか？

場合わけを3つにするか、2つにするかという問題は、上記答えの
『x=○○の時に、』という部分を書くか書かないかという点に依存します。

「y=x²－2x＋1 (a≦x≦a＋1)について最大値をもとめよ」という問題の場合、
私であれば以下のような回答を書きます。
・a<1/2の場合、yはx=aの時に最大値a^2-2a+1をとる
・a=1/2の場合、yはx=1/2または3/2の時に最大値0をとる
・a>1/2の場合、yはx=a+1の時に最大値a^2をとる

もし、このときに場合わけが2つだと、こんな回答になるのかなと思うのですが、
a=1/2の場合、x=aとx=a+1の2点で最大値をとるので、大変「気持ち悪い」わけです。
・a≦1/2の場合、yはx=aの時に最大値a^2-2a+1をとる
・a>1/2の場合、yはx=a+1の時に最大値a^2をとる

でも、以下のような回答ならあまり気に気なりませんよね？
・a≦1/2の場合、最大値a^2-2a+1をとる
・a>1/2の場合、最大値a^2をとる

そんなわけで、最大値を出すだけなら場合わけは2つでも3つでもかまわないけれども、どの点で最大値をとるかが大事なら、場合わけは3つの必要があると思います。

まぁ、たぶんに好みの問題だと思いますが、私は3つで教えられました。教科担任の先生の好みに合わせて答案を書くとよいのではと思います。

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No.2

回答者： FT56F001
回答日時：2011/09/21 16:36

本来，同じ質問を別に繰り返すのは行儀良くないけど，

前問への回答者氏が妙に威圧的だったので，
高校一年のお嬢さんとしては，続けにくかったのかな。

整理します。

区間a≦x≦a+1で，二次関数f(x)=-x^2+2x+2あるいは
g(x)=x^2-2x+1の最大値，または最小値を求める問題で，
aに対する場合わけを，何でするのか，という質問ですね。

図を描くと分かりますが，二次関数の最大・最小問題の原則は次です。
f(x) 上に凸の放物線の場合
最大値: 定義域に頂点が含まれる場合は頂点。
　　　　含まれない場合は，定義域のどちらかの端。
最小値: 定義域のどちらかの端。

g(x) 下に凸の放物線の場合
最小値: 定義域に頂点が含まれる場合は頂点。
　　　　含まれない場合は，定義域のどちらかの端。
最大値: 定義域のどちらかの端。

f(x)もg(x)も軸はx=1ですから，
「定義域に頂点が含まれる」⇔　a≦1≦a+1　⇔　0≦a≦1
で判定できます。

定義域のどちらかの端が最大値または最小値をとる，どちらが大きいかを判別したい。
f(x)の最小値あるいはg(x)の最大値を求める場合が，このケースです。

このとき，軸x=1が定義域a≦x≦a+1の中心(a=1/2)に対して右寄りか左寄りかで大小が変ります。
すなわち，a=1/2を境に場合わけすることになります。

質問者さんが悩んでいるのはa=1/2の場合ですね。
a=1/2の場合，定義域の端の関数値f(a)とf(a+1)
あるいはg(a)とg(a+1)は同じ値になります。

以前の回答者さんの回答にあったように，
「a=1/2は別に考えても良いし，どちらか入れても良い」
が答えです。すなわち，
a<1/2，a=1/2，a>1/2の三つに場合分けする，
a≦1/2とa>1/2の二つに場合分けする，
a≧1/2とa<1/2に二つに場合分けする，
のどれでも良いです。

g(x)の最大値を求める場合だと，
　a<1/2の場合，最大値はg(a)
　a=1/2の場合，最大値はg(a)=g(a+1)=g(1/2)
　a>1/2の場合，最大値はg(a+1)
と場合分けされます。これは，
　a≦1/2の場合，最大値はg(a)
　a>1/2の場合，最大値はg(a+1)
と書いても，
　a<1/2の場合，最大値はg(a)
　a≧1/2の場合，最大値はg(a+1)
と書いても，内容は同じです。