幾何学の問題

定理の証明がわからないのですがわかる教えてほしいです。

定理 ｆ：X→Yを連結な図形Xから図形Yへの連続写像とすると、像ｆ（X）は連結である。

よろしくお願いします

No.1 回答者： rei00 回答日時： 2001/05/01 14:18

定理の証明であれば，数学の教科書にのっていると思いますが。

ご質問の内容であれば，幾何学ではなくて，写像とか関数の連続性とかが書いてあるあたりでしょうか。

私，数学は専門外ですので，昔の記憶をたどりながら回答しております。間違っているようでしたら，専門家の方，訂正お願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： oodaiko 回答日時： 2001/05/01 22:23

位相数学の初歩ですね。

たぶんどの教科書にも証明は載っていそうですが。

位相空間や連続写像、連結性の定義についてはきちんと理解しておられるでしょうか？
位相空間といっても距離空間よりもっと一般的な、開集合族によって定義される
位相空間のことですが。それについて理解していないと以下の証明を見ても
理解できないと思います。
問題の書き方がずいぶんあいまいなので心配なのですが。

まず注意しておくことは連結性や連続写像についての命題ですから当然
Ｘは適当な位相が定義された空間、つまり位相空間であることを前提としています。
またＹも位相空間でなければ命題は意味を持ちません。
そこで問題をきちんと書き直すと

Ｘ、Ｙは位相空間、Ｘは連結とする。写像ｆ：Ｘ→Ｙが連続ならば、像ｆ（Ｘ）は連結である。

となります。
証明にはこの命題の対偶を示します。

ｆ(Ｘ)は連結でないとせよ。するとＹにおける２つの開集合Ａ、Ｂで
ｆ(Ｘ) ⊂ Ａ ∪ Ｂ かつ Ａ ∩ Ｂ ∩ ｆ(Ｘ) ＝φ
であり Ａ ∩ ｆ(Ｘ) ≠φ かつ Ｂ ∩ ｆ(Ｘ) ≠φ
であるようなものが存在する。
ＡとＢのｆによる逆像を考えると
ｆ^{-1}（Ａ ∪ Ｂ）＝ ｆ^{-1}（Ａ）∪ｆ^{-1}（Ｂ）＝ ｆ^{-1}（ｆ(Ｘ)）＝Ｘ ……（１）
ｆ^{-1}（Ａ ∩ Ｂ）＝ ｆ^{-1}（Ａ）∩ｆ^{-1}（Ｂ）＝ ｆ^{-1}（φ）＝ φ ……（２）
そしてｆは連続写像だからｆ^{-1}（Ａ）とｆ^{-1}（ Ｂ）はそれぞれＴの空でない開集合である。
従ってＸは連結でない。 ■