松坂さんの『線形代数入門』p104の定理3.19からの抜粋です。
V,Wをベクトル空間として、Vは有限次元であるとする。そのとき、線形写像F:V→Wの像をW'、核をV'とすれば、
dimW'+dimV'=dimV
が成り立つというものがあります。
この証明の流れを軽くかくと、
dimV(=n)、dimV'(=s)の次数を決める。すると、V'はVの部分空間なのでdimV'の基底を拡張したものがdimVの基底になる。
その拡張した基底(r個追加して拡張したことにする)のFによる像がdimW'の基底となることを示す。
するとs+r=nとなり定理が証明できたことになる。
この証明の中で、拡張したもの像がW'を生成すること、1次独立であることを示したらそれが基底であることが言えるわけですが、1次独立であることをしめしている箇所がわかりません。
1次独立の定義は、一次結合が0になるのは、その実数係数がすべて0の時に限るということだったはずですが、この証明においては、実数係数がすべて0であるということは述べていますが、その時に限るということは言えていない気がします。
どなたかお答えいただけると幸いです。
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