まず前ふり。

Σ(i=0,n)nCi=2^n

と言う等式を考えます。
nCiはn個のものの中からi個のものを選ぶ選び方の数、
いわゆるコンビネーションだと思ってください。

この式の解釈として

「左辺はn個のものから0個を選ぶ、1個を選ぶ、2個を選ぶ、、、n個を選ぶ
と言う風に全ての個数について選び方が何通りあるか数えている。それはn個
の中から自由に選ぶ場合の選び方を数えているのと同じだ。自由に選べるとす
れば個々の要素について選ぶ、選ばないの2択があるわけだから2^n通りの選
び方がある。よって左辺と右辺は等しい。」

というのが考えられます。解釈があれば複雑な式もふむなるほどと納得できる
物です。

さて、本題。

1、要素数nの集合A、Bがあるとき、AとBから同じ数だけ物を選ぶ選び方。
2、2n個の中からn個の物を選ぶ選び方。

この2つがどうやら同じになりそうなんです。式で書くと

Σ(i=0,n)(nCi)^2=2nCn

となります。なりそう、というのはちゃんと証明したわけではないのですが
計算機でnが小さいときの値を計算したら一致したのでおそらく成り立つ
だろう、と思うわけです。

で、この式が成り立つとして、どう解釈したら良いのでしょう。
どなたかウマイ解釈をお願いします。

ついでに式の証明もお願いします。

A 回答 (2件)

以下の証明, 解釈は組み合わせ数学入門1 C.L.リウ著 伊里正夫, 伊里由美共訳(共立出版)からです。

大きい図書館に行けば見つかると思います。
まずは証明から。ちょっと遠回りに見えますが, 全体を眺めてください。
証明) 式(1+x)^n(1+x^(-1))^n...(*)の定数項を考えます。この式の定数項は
(nC0)^2+(nC1)^2+...+(nCn)^2
で与えられます。さて, 式(1+x)^n(1+x^(-1))^nを変形すると,
(1+x)^n(1+x)^nx^(-n)
= (1+x)^(2n)x^(-n)...(#)
となります。この式の定数項を考えると,
2nCn
で与えられることがわかります。
式(*)と(#)は等しいですから等しい定数項を持ちます。従って,
(nC0)^2+(nC1)^2+...+(nCn)^2 = Σ(i=0,n)(nCi)^2 = 2nCn
が成り立ちます。 (証明終わり)

さて, 解釈ですが, Aからi個選んだとき, Bからもi個選ぶわけですが, これは同時にBからn-i個を選ぶ作業に等しいわけです。そこでAからi個選んだとき, Bからn-i個選ぶ作業methodを考えます。
ここで, 2n個のものからn個の物を選ぶことも同時に考えましょう。このとき選ぶ方法として, 2n個のものをn個の2つの集合に分け, 片方からi個選び, もう片方からn-i個選ぶとします。
これはmethodに等しい選び方です。従って,
2nCn = Σ(i=0,n)(nCi)(nC(n-i)) = Σ(i=0,n)(nCi)^2
となります。

なんか解釈の順番がおかしいので, 気持ち悪いのですが, これで許してください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり多項式の係数と結びつけるというのが有効な手段ということですか。
勉強になりました。
解釈の方ですが、これこれ、これが欲しかったんですよ。
言われてみればなるほど納得です。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/03 14:18

 現役高校生なので、ちょっと。



> Σ(i=0,n)nCi=2^n

 この証明ですが、一般的に、二項定理を用いて、
証明する気がします。

nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCr
= (1+1)^n
= 2^n

としてます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに証明できていますね。

ところでayucatさんは二項定理がなぜ成り立つか知っていますか。
二項定理の言わんとしていることを知らずに、定理なんだ黙って納得しろ、
というのではちとさみしいと僕なんかは思うわけです。
だからこそ僕は式の解釈なんてものを欲しがるわけです。

そっちの式は前ふりなので本題の方もお願いします。

お礼日時:2001/05/03 00:43

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

今、見られている記事はコレ!

  • 数学は日常生活に役立っているのか?専門家に聞いてみた

    3月14日は、1997年に財団法人日本数学検定協会が制定した数学の日である。あなたは学生の頃、数学は得意だっただろうか? 筆者のように得意ではなかった人なら、「将来、これが何の役に立つのだろう……」と四苦八苦...

  • この問題解けますか?「1・1・5・8」を使って10を作るパズル

    テンパズルというのをご存知でしょうか。この名前は知らなくともやったことのある方も多いと思いますが、どういうものかと言いますと、4つのひと桁の数字を足したり引いたり掛けたり割ったりして10にする、というも...

  • 数学は実生活で役立つのか

    学校で学んだ事柄が後々の仕事に役立ったなどという話は、よくあるケースですが、学んでいる最中はなかなか気づかないものです。子どもから「数学ってなんの役に立つの?」と聞かれて、数学が苦手だった親はどう答え...

  • 無駄に覚えている数字ってどのくらいあります?

    覚えたくても覚えられない数字がある一方で、なんとはなしに記憶した数字がずっと頭に残っているケースもあります。くっきりと覚えてはいるものの「多分、これ一生使わないんだろうな…」と思っている数字、今日はそ...

  • あなたも挑戦!?バカ田大学入試

    大人気ドラマ「ガリレオ」、観ている方も多いのではないでしょうか。学生時代に数学が苦手で、もう数式なんて見たくない!と思っていても、さらさらと難解な数式を操る湯川先生(福山雅治さん)の姿を見るとかっこい...

おしトピ編集部からのゆる~い質問を出題中

お題をもっとみる


このカテゴリの人気Q&Aランキング

おすすめ情報

カテゴリ