以下のようなデータを用いて、共分散行列を生成するとします。
(各No.にはそれぞれx1~x5の5つのデータ)
x1 x2 x3 x4 x5
No.1 [2 4 5 2 1]
No.2 [3 10 8 7 9]
No.3 [11 3 2 1 6]
すると、共分散行列は3×3の正方行列になり、その固有値も3つ求まりますよね。
しかし、固有ベクトルに関してはデータがx1,x2,..,x5と5次元で考えているので、
ひとつの固有値に対して5つの成分を持つ固有ベクトルが求まりますよね。
よって、共分散行列の固有値行列は必ず正方行列になりますが、固有ベクトルの
行列は上の例の場合なら5×3行列(列は対応する固有値の数、行はベクトルの成分の数)となり、
必ずしも正方行列にはなりませんよね?そのあたりを教えて頂きたいと思います。
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
共分散行列のik成分をA_ikと書くと,
A_ik=(1/N)Σ[j=1 to N](xij-μi)(xkj-μk)
となります。Nはデータ件数,xijはj件目のデータにおける第i変数の値,
jはデータ件数を走る添え字,
i,kは変数次元を走る添え字で,μkは第k変数の平均値
を表します。
(例で言うと,Nは生徒の人数,jは出席番号,μ1は英語の平均点,μ2は国語の平均点etc)
>共分散行列 = E[(x-E[x])(x-E[x])^t] ^tは転置 Eは期待値(平均値)
の表記に合わせると,xは列ベクトルで
2 3 11
4 10 3
5とか,8とか,2
2 7 1
1 9 6
です。
期待値をとるE{}演算は,データ件数について加えて平均することになります。
期待値の操作を行列でやりたいとすると,
>No.1の行の平均をμ1, No.2の行の平均をμ2, No.3の行の平均をμ3とします。)
>[ 2-μ1 3-μ2 11-μ3 ]
>[ 4-μ1 10-μ2 3-μ3 ]
>[ 5-μ1 8-μ2 2-μ3 ]
>[ 2-μ1 7-μ2 1-μ3 ]
>[ 1-μ1 9-μ2 6-μ3 ]
はすこし違います。平均値は,
データ件数個つくるの(生徒毎の平均)ではなく,
変数次元個つくります(科目毎の平均)。
μ1=(2+3+11)/3 第1科目(英語?)の平均点
μ2=(4+10+3)/3 第2科目(国語?)の平均点
μ3=(5+8+2)/3 第3科目の平均点
μ4=(2+7+1)/3 第4科目の平均点
μ5=(1+9+6)/3 第5科目の平均点
とした上で,
[ 2-μ1 3-μ1 11-μ1 ]
[ 4-μ2 10-μ2 3-μ2 ]
[ 5-μ3 8-μ3 2-μ3 ]
[ 2-μ4 7-μ4 1-μ4 ]
[ 1-μ5 9-μ5 6-μ5 ]
すなわち,縦に科目番号,横に生徒の出席番号で並べた行列をつくり,これを左から
転置した行列を右から掛け算します。
結果として,変数次元×変数次元の正方行列ができ,その各要素はデータ件数分を平均した値です。
早々のご回答、ありがとうございます。FT56F001さんの説明を読み、
理解が深まりました。ここまで丁寧に親切に回答していただき、
本当にありがとうございました。今夜はぐっすり眠れそうです。
No.1
- 回答日時:
・データ件数
・変数の次元
を混乱していませんか?
共分散行列は,変数次元×変数次元の正方行列で,データ件数とは無関係です。
例で言うと,
「英語,国語,数学,理科,社会の5科目の試験成績を,300人の生徒について集めた。
このデータから,総合学力,理系・文系,言語系・非言語系などの因子に分析せよ」
という問題で,データの件数は300,変数の次元が5です。
質問者さんのケース,変数が5次元もあるのにデータがたった3件では,
意味のある統計的分析はできないでしょう。
この回答への補足
質問にご回答頂きありがとうございます。
補足として質問したいことがあります。もしお時間がありましたら、
答えて頂けたら幸いです。
共分散行列の次元数が[変数の次元×変数の次元]であるのですね。
勘違いしていました。すると、仮に与えられたデータが
x1 x2 x3 x4 x5
No.1 [2 4 5 2 1]
No.2 [3 10 8 7 9]
No.3 [11 3 2 1 6]
であるとします。(データ件数が少ないですが、式の説明を簡単にするため、
とりあえず、上のデータでお願いします。)
共分散行列を求める公式を
共分散行列 = E[(x-E[x])(x-E[x])^t] ^tは転置 Eは期待値(平均値)です
すると共分散行列を求める公式の(x-E[x])に当たる部分が上の例ですと、
(No.1の行の平均をμ1, No.2の行の平均をμ2, No.3の行の平均をμ3とします。)
[ 2-μ1 3-μ2 11-μ3 ]
[ 4-μ1 10-μ2 3-μ3 ]
[ 5-μ1 8-μ2 2-μ3 ]
[ 2-μ1 7-μ2 1-μ3 ]
[ 1-μ1 9-μ2 6-μ3 ]
であり、公式の(x-E[x])^t(転置)に当たる部分は上の5×3行列をそのまま転置に
した3×5の形でよいのでしょうか。こうすれば結果的には5×5の正方行列になりますが。
最後に公式から共分散行列の全要素をこの場合ですとデータ件数3で割るということで
よいですか?
(因みに、今までは共分散行列の生成において、上の例の場合(3,5)行列に(5,3)行列を
かけていたので、生成後の共分散行列の次元数が(データ件数)×(データ件数)と
なっていました)
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