六角形の面積

１辺の長さが１の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨで、
辺ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，ＨＥ，の中点をそれぞれＫ，Ｌ，Ｍ，Ｎとする。
このとき、三角形ＦＫＬを底面とし点Ｄを頂点とする三角錐と、
三角形ＨＭＮを底面とし点Ｂを頂点とする三角錐とが重なり合う部分の図形をＶとする。

また、辺ＡＥ，ＢＦ，ＣＧ，ＤＨ上に、それぞれＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓを
ＡＰ＝ＢＱ＝ＣＲ＝ＤＳ＝ｔ
を満たすようにとり、４点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓを通る平面をＸとする。

このとき、平面ＸによるＶの断面が六角形になるとき、その面積を求めよ。
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問題は以上です。
Ｖの形や、断面が六角形になる時のｔの範囲はわかったのですが、どうすれば面積にもっていくことが出来るのかがわかりません。
どなたかお助けください。

No.2 ベストアンサー 回答者： www15 回答日時： 2003/11/24 02:25

問題の内容からおそらく高校の数学II－ベクトルの問題と思われるので，その前提で回答します。

違っていたらすみません。

「XY~~」を，点XからYへ向かうベクトル（本来なら「XY」の上に矢印を書く）とします。

私は，AB~~をx軸，AD~~をy軸，AE~~をz軸にとって考えました。
まず，以下の点を求めます。
「直線BNと直線DKとの交点」「直線BMと直線DLとの交点」
「直線DFと平面BMNとの交点」「直線BHと平面DKLとの交点」
「直線BHと直線DFとの交点」
この時平面Xは，XY平面に平行でZ=tの点を通る平面です（これが重要！）ので，上で求めた座標を用いて，立体Vと平面Zが交わって作る直線を求めていき，それによって面積を求められます。
この際，次のことを利用するとよいかと思います。
「三点X，Y，Zを通る平面上の点Wは，αおよびβを実数として
　W=OX~~＋α・XY~~＋β・YZ~~
と表される。」

自分でも具体的な計算はしませんでしたが，これでいけるかと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2003/11/24 15:13

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2003/11/23 00:26

とりあえず、平面XとDF,DK,DL,BH,BM,BNの交点をF',K',L',H',M',N'とでもおいて、

平面X上で、Pを原点、PQをx軸、PSをy軸とする座標平面でも考えて、
ぐりぐりと計算で押しちゃうという手もあります。

六角形のできかたは、正方形から直角二等辺三角形を２つ落とした形なので、なんとでも計算できると思います。

ただし、座標求めたりするのは計算しんどいのでしてません^^;

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2003/11/24 15:13