掛け算、割り算を足し算、引き算の先に行う理由

Question

小学校の時に習いましたが、これは単なる約束事なのか数学的にも意味があることなのか教えていただければ幸いです。

ORUKA1951 · Accepted Answer

約束事ではありません。じゃ約束事を変えたら・・・
小学校で掛け算とは、元の数を何回足すことを元の数を何倍することと習ったはずです。
一個５０円のりんごを１０個買うといくらか・・
　５０円＋５０円＋５０円＋５０円＝２００円

そして、５０円＋５０円＋５０円＋５０円
　は１０回足すので
　５０円×４と書き表せまると。
　このとき、必ず、５０×４＝であって、４×５０としてはならないということも合わせて習ったはずです。

これにさらに、一個２０円のみかんを足すといくらになるかは

５０円＋５０円＋５０円＋５０円＋２０円

個数から、単位と言うものを捨てて抽象化すると
50×4＋20
　これは、50+50+50+4+20 と言う意味であって、
(4+20)＋(4+20)＋・・全部で50回・・・(4+20)
　ではありません。

算数や計算は、約束事で決まっているわけではなく、あくまで数と言う抽象的な概念に置き換えて答えを出す方法です。
　ただ、四回続けて足すことを×4とあらわす・・は約束事です。

kamobedanjoh · Answer

失礼ですがあなたは小学生ではありませんね。

小学校では、算数そのもの、つまり数の概念を理解するために、極めて初歩的に指導します。
あなたの質問は物の値段の合計の仕方についてでは無く、計算式と計算順序についての質問で、運算順序の決まりについての質問でしたね。
決まりとは、約束そのものです。物の値段の計算のしかたにも、約束がありました。
個数×単価＋（別のものの）個数×（そのものの）単価＋・・・・・・
数の理解が進めば、単価×個数の順でもいっこうに差し支えありません。

では、四辺形の面積を求める問題ではどうでしょう。
面積＝縦×横＝横×縦　　　　　この場合順序は関係ありません。
数の概念が理解された段階で、より高度な理解へと進んで行きます。その段階ごとに約束が増えて行きます。

自乗すればマイナスになる数・・・・・常識的には有り得ませんね。
でも、数学や物理の世界では『複素数』というやや面倒な計算式も取り扱います。力学や電子工学では避けて通れない計算式です。高等数学では、面倒な約束を避けて進むことは出来ません。
あなたも頑張って、理数に強い人に育って下さることを祈ります。

ORUKA1951 · Answer

No.7です。そうです。「掛け算を先に計算する」は[約束事]ではありません。

＞実際の事象を抽象化する過程で意味を見失った結果の錯覚ということでしょうか。

小学校のとき、「3+3　は3×2とあらわせます。(2×3ではない)」と教えるのです。それを忘れた親が、「一個3円のものを2個集めると答えは」という質問に「2×3=6」と答えてバツをもらって帰った子供に「それはおかしい」と教えてしまう。
　2×3=3×2は、あくまで2円,3個を現実を数と言う抽象概念に置き換えた計算操作の上でのことです。小学校の低学年で教えるのは、現実を数と言う抽象概念に置き換えることなのです。

3×2+5は、(3×2)+5、すなわち3+3+5のことで、3×3××3×3×3×3×3×3×3×3=3×5=3×(2+5)ではありません。

＞「掛け算、割り算を足し算、引き算の先に行う理由」は小学校の時に習いましたが、これは単なる約束事なのか数学的にも意味があることなのか

いったん抽象化が正しく出来ると、計算上で「掛け算を先にしましょう」とテクニックとして覚えてしまって、過去を忘れてしまう。最後には「約束事」だと人に教えてしまう。約束事なのは「2+2+2は、2×3とあらわしましょう」だけです。
　約束事ではありません。それ自体が最初の数学なのです。

kamobedanjoh · Answer

A NO.６ の追加です。
算数には約束があります。
２×３＋４×５　　を左から順に計算すると
６＋４×５
＝１０×５＝５０
　　　　　　　　　　約束通り計算すると
６＋２０＝２６

また次の場合は
２＋３×４＋５　　を左から順に計算すると
５×４＋５
＝２０＋５＝２５
　　　　　　　　　　約束通りの計算では
２＋１２＋５＝１９

どの計算が正しいかはお分かりですね。
『先に計算する部分は　（　）　でくくること。
　ただし、×　÷　の部分は先に計算しておくものとして　（　）を省略しても良い』
という、計算式書き出しの便利のための約束なのです。

kamobedanjoh · Answer

ANO.５　の回答、最も分かりやすいですね。
数学の約束には、他にもいろいろあります。
対数計算とか、複素数計算など、高等数学の約束や定義には、計算の便利さだけで無く、その約束がなければ計算そのものが成り立たなくなるために、便宜上定義されているものもあります。
面倒な数式などは省略します。
古代インドにおけるゼロの発見なども、０自体が意味の無い約束とも言えますね。

yukaru · Answer

約束事というよりは

現実生活に即しているのです

ジュース120円を2個とパン80円を3個

これは先に乗算を計算しています

こういった例が多々あるので数学では明示しているのでしょう

acha51 · Answer

<< これは単なる約束事なのか数学的にも意味があることなのか

約束事というより計算のテクニックとしてでしょう
乗算は加算の繰り返し、除算は減算の繰り返しです

たとえば　A+BxCの意味は　AにBをC回、加算したものを加算するですよね、
最初にAとBを加算した後BをCから１減算した数だけ加算しても
同じ結果になりますが、それより乗算を先に計算する、
BxCつまりBをC回、加算してAを加算するほうがわかりやすく間違えにくい

除算の考え方も乗算のときと同じです
先人の知恵です

ndkob2011 · Answer

世界共通の決めです。
1+1/2=1/2+1=1.5が、1+1割る2では=1となり、答えが二つあることになり、世の中間違いだらけになります、いや正確性が損なわれることになってしまうのです。

pasocom · Answer

数字だけの計算ならどこから計算してもよさそなものですが、数学では文字計算というのがありますね。そう言う場合、「×」は省略されるのが普通だし、「÷」は分数で表されたりします。そういうことを考えると「掛ける・割る（乗除）」を先にするというルールの方がなじみやすいのでしょう。
例を挙げると、
a+bxc=a+bc　と表記しますね。また、
a+b÷c=a+b/c　と書きます。
このような式だと自ずから「bc（bxc）」や「b/c（b÷c）」を先に計算しているわけです。
「加減」より「乗除」を先に計算する、というルールを身につけておかないと上のような文字式が理解しにくくなるでしょう。

oo14 · Answer

単なる約束ごとです。
初期の電卓ではメモリの制約等で入力順ですが
数式で入力するものはこの約束が普通ですが、
そうでない特別なルールのものもあります。

掛け算、割り算を足し算、引き算の先に行う理由

約束事ではありません。

失礼ですがあなたは小学生ではありませんね。

No.7です。

A NO.６ の追加です。

ANO.５ の回答、最も分かりやすいですね。

約束事というよりは

<< これは単なる約束事なのか数学的にも意味があることなのか

世界共通の決めです。

数字だけの計算ならどこから計算してもよさそなものですが、数学では文字計算というのがありますね。

単なる約束ごとです。

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A NO.６の追加です。

ANO.５　の回答、最も分かりやすいですね。