ヤング率（縦弾性係数）の実験に関して

長さl ，断面積Sの一様な針金に，質量Mのおもりを掛けて引張ったときの針金の伸びを⊿lとするとき、応力σ＝Mg/S と歪ε＝⊿l / l の間には比例関係σ＝Eεが成り立つ。このときの比例定数Eをヤング率という。E＝σ / ε＝(Mg/S) / (⊿l / l)＝Mgl /S⊿l　より、針金の断面積、長さ、伸びを測定すればヤング率を求めることが出来る。

この実験を行うとき、ヤング率の計算結果の誤差にもっとも影響を及ぼすパロメータはどれですか？
針金の断面積、長さ、伸びの中から選んで理由も一緒に教えてください。

No.2 回答者： drmuraberg 回答日時： 2011/12/13 11:20

針金の面積Sは針金の半径rで測るとすれば

E＝σ / ε＝(Mg/S) / (⊿L / L)＝MgL /S⊿L = (g/π)ML/(r^2⊿L)

測定値は、質量M、針金の長さL、伸び⊿L、半径rであるから。
ヤング率Eをこれらの関数としてE(M,L,⊿L,r) と書けば、その微小変化は

⊿E = (∂E/∂M)dM + (∂E/∂L)dL + (∂E/∂(⊿L))d（⊿L） + (∂E/∂r)dr

(∂E/∂M) = (g/π)L/(r^2⊿L)
(∂E/∂L) = (g/π)M/(r^2⊿L)
(∂E/∂(⊿L)) = -(g/π)ML/(r^2(⊿L^2))
(∂E/∂r) = -2(g/π)ML/(r^3⊿L)

⊿E = (g/π)LM/(r^2⊿L)｛dM/M + dL/L - d（⊿L）/⊿L – 2dr/r｝
⊿E/E = dM/M + dL/L - d（⊿L）/⊿L – 2dr/r

それぞれの項x100は誤差％であるから、これをδで表すと、
δE = δM + δL + (-1)δ（⊿L） + (-2)δr

それぞれが独立であるとして最大誤差δEmを下記URL頁８の最下段の式から
求めることができるとする。
http://www.tuat.ac.jp/~watanabe/Watanabe_Lab/Tot …

δEm = √(Σ((∂E/∂X)＾2*δX＾2) X=M,L,⊿L,r
= √(δM^2 + δL^2 +δ（⊿L）^2 + 4δr^2)

興味ある点は半径測定の誤差が他の因子よりも大きく効いてくる事です。

実験では重さと長さの測定精度の差、長さ測定の間の精度差を考慮する
必要が有るでしょう。針金をぴ～んと張るのは難しいので、質量M1の初期
荷重を掛け、荷重をM2に増加した時との差からM、L、⊿Lを求めるのが
良いと思います。
半径rはマイクロメータで1/100mmの精度で測定可能ですがδr^2のオーダーは
δL^2 のオーダーと大差は無いように思えます。L、rのそれぞれに付いて多数回
測定しデータの分布幅からδを推定することもできます。
⊿Lの測定は読取式スコープですか？この測定が一番難しいと思います。
この難しさを避けるために撓みによるヤング率の測定が広く行われています。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5503532.html

No.1 回答者： sou_tarou 回答日時： 2011/12/13 03:57

伸びだと思います。

値が小さいし、測定が難しい。