真か偽かの数学の解説をお願いします

a,bは自然数、A（ｘ：ｘは２で割り切れる自然数）するとき

和a+bがAに属さないとき、 （a∈Aの補集合またはb∈Aの補集合）と（a∈Aまたはb∈A）は真である

とありました これはなぜ真なのでしょうか？

まあ aがAに属する＝aが２で割れる というのは理解できますし
a+bがAに属さないときは aが偶数かつbが奇数のとき、 aが奇数かつbが偶数のときというのはわかります

しかし（a∈Aの補集合またはb∈Aの補集合）というのは（a∈Aの補集合かつb∈Aの補集合）の場合も含みますから奇数＋奇数の場合も含むので私は偽になると思いました
（a∈Aまたはb∈A）のも同じで 数学では「AまたはB」は、「AかつB」を含めて考えますので（a∈Aかつb∈A）の場合は偶数＋偶数となるので偽になると思いました

けど解答には和a+bがAに属さないとき、 （a∈Aの補集合またはb∈Aの補集合）と（a∈Aまたはb∈A）は真である
とあってなぜこのようになるのかがわかりません なぜこのようになるのでしょうか？

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/01/01 13:43

これは 「a, b のどちらかが奇数で、かつ、どちらかが偶数である」ということなので

「a+bが奇数である」と同値であることはあきらかです。

下の表を見てください。

a　b (￢(a∈A) ∨ ￢(b∈A)) ∧ (a∈A ∨ b∈A)　
隅 隅 false
隅 奇 true
奇 隅 true
奇 奇 false

a+b が奇数のときのみ式が true になることがわかります。

式は恒真式ではなく、前提条件(a+b が奇数)の時 true
になればよいので、「解答」は正しいです。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/01/04 13:58

まだ、終わっていないようなので No.6 の補足を

ある命題がパラメータを含んでいる場合、
それを命題関数といいますが、

（a∈Aの補集合またはb∈Aの補集合）かつ（a∈Aまたはb∈A）

を Q(a, b) というように書けます。

ここで、Q(a, b)が真　というのはいくつかの意味が有ります。

1) ある特定の a, b に対して Q(a, b)が真
2) a, b が特定の集合に属している場合 Q(a, b) は真
3) 全ての(任意の) a, b に対して Q(a, b)は真

論理を言葉でやっていると、これらがいつの間にがごちゃ混ぜに
なってしまうことがよくあるのですが、
質問内容は 2) ですが、質問内のkirofiさんの考察は 3) になってます。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/01 21:46

それは言葉の意味を勘違いしている.

「○○のとき××か」と問われたときに考えるべきは「○○のときに必ず××が成り立つ」かどうかだけ. 「××が成り立つときに必ず○○なのか」を考える必要はない.

No.5 回答者： edomin7777 回答日時： 2012/01/01 13:29

Ａ または Ｂ または Ｃ

が

真 または 真 または 偽

と言うことですよね？

「または」で繋いだときは、どれか一個でも真なら真ということ。
「かつ」でつないだときは、どれか一個でも偽なら偽ということ。

No.4 回答者： Caper 回答日時： 2012/01/01 13:10

　私は ANo.1 で回答した者です。

とんちんかんな回答をして、ごめんなさい。他のかたのご回答をあてになさってください。たいへん失礼いたしました。

No.3 回答者： f272 回答日時： 2012/01/01 13:01

（a∈Aの補集合またはb∈Aの補集合）

⇔　（a∈Aの補集合かつb∈A）または（a∈Aかつb∈Aの補集合）または（a∈Aの補集合かつb∈Aの補集合）
ということだよね。
奇数＋奇数の場合も含むとしても，「または」で結ばれているので，そのうちのひとつでも真であれば全体が真になる。

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2012/01/01 12:54

「かつ」を含めて考えるから全体が偽になる、という考えは正しくありません。

少なくとも一方が成り立っていれば（両方とも成り立っている場合を含めて）、真です。

No.1 回答者： Caper 回答日時： 2012/01/01 12:49

　((a ∈ (A の補集合))または(b ∈ (A の補集合)))と((a ∈ A)または(b ∈ A))

　まん中の「 と 」が「 かつ 」の意味で用いられているのではないでしょうか。まちがっていましたら、ごめんなさい。