空間を平面で分割

異なる平面で空間を分割しているのですが、平面が
0個だと1つ、
1個だと2つ、
2個だと4つ
3個だと8つまではわかるのですが
それいじょうが想像しにくいです。
どう考えれば分かりやすいか教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2012/01/08 08:12

空間をn枚の平面で分割するとき、

n枚目を他のn-1枚と交差するように描けば、平面と平面の共通部分は直線なので、
n枚目の平面はn-1本の直線で分割されることになります。

平面を異なるn本の直線で分割するときの平面の領域の数をS(n)、
空間を異なるn枚の平面で分割するときの空間の領域の数をP(n)とすれば、
S(0)=1
S(n)=S(n-1)+n　　（n≧1）
P(0)=1
P(n)=P(n-1)+S(n-1)　　（n≧1）
となります。

S(n),P(n)の一般形は、
S(n)=(n^2+n+2)/2
P(n)=(n+1)(n^2-n+6)/6

この回答へのお礼

ありがとうございます！凄く納得です！！

お礼日時：2012/01/08 12:22

No.2 回答者： paan 回答日時： 2012/01/08 02:22

豆腐を包丁で正四面体を切り取る様な感じです。

平面４個で空間は１５に分割されるはずです。

この回答へのお礼

うーん、難しいです＞＜
実際にやってみたらわかりましｒたが、
想像では難しいです。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/09 21:56

No.1 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/01/07 19:19

手探りの回答ですが…

平面だと
２つの直線で４つの領域に分かれます
３つの直線は７つの領域で８つにはなりません
２つの直線は交点が１つで交点１つ当たり２つ平面が増えます
３つの直線で追加される２交点は最初の交点で２つ増え、次は１つ
以降増える直線の交点の数をnとしたときにn+1個づつ増えていくのだと思います

空間では
２つの平面で４つの領域に分かれ
３つの平面は追加される１つの平面が残りの２つと２交線で交わり
２交線が分ける４分割分だけ平面が増えるのだと思います
４つの平面は追加される１つの平面が残りの３つと３交線で交わり
３交線で分割される７つの領域に分かれていきいます

従って、まず平面の直線分割数を計算した後に
空間分割の計算では、平面で生じる交線の分割で分かれる分割数分足し合わせていけば求まる
んだと思います…が、ちょっと自信が無いです

この回答へのお礼

なるほど～～
これは確実な数かわかりますね！！
ありがとうございます！！

お礼日時：2012/01/09 21:57