行列 直交行列

直交行列について質問させて下さい。
前回の質問で直交行列の定義は理解できました。
前回の質問：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7221868.html

＞直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
＞直交し、大きさが全て 1 になります。
＞直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
＞直交し、大きさが全て 1 になります。


上記内容ですが、例えば3×3行列の場合、
第1列と第2列、第1列と第3列、第2列と第3列がともに
直交（垂直=内積がゼロ）ということでしょうか？
また、行も同様。

上の認識でOKでしょうか。

また、大きさが全て1となるとはどういうことなのでしょうか？
直交する場合は内積ゼロになるのではないでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/01/15 19:13

>積和

あまり気にしないでください。

「対応するものの積をとってから足しこむ」という程度の意味で
使ってます。数学の用語として正しいかどうかは判らないのですが
離散系の信号処理ではよくこういう言い方をするので・・・

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

では、複素数ZとZにおける複素共役との積という認識でOKですね。

積和とは、
＞「対応するものの積をとってから足しこむ」という程度の意味で
＞使ってます。数学の用語として正しいかどうかは判らないのですが
＞離散系の信号処理ではよくこういう言い方をするので・・・
勉強になります。

補足日時：2012/01/15 20:37

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/01/14 23:57

>基礎体をCとした場合は複素共役同士の積和になるのでしょうか？

「そういうように定めないと内積といえなくなるから」なんですが
内積の厳密な意味や公理は線形代数の本を参照してください。

内積の重要な性質として

｜A｜^2 = A・A (・は内積)は非負の実数

というのがあるので、、
実数の内積と互換をとりつつ内積を定めるには
複素共役が必要になるわけです。

この回答への補足

いつも親切丁寧なご回答本当にありがとうございます。

複素共役とは、
ある複素数にたいし、その虚部の符号をいれかえたもの。
つまり、ある実数x,yがあり、iを虚数単位とすると、
Z=x+iy
に対して、
（Z^－）=x-iy→（Z^－）は複素共役を表します。
ガウス平面上では、
Z=x+iy=re^iθ
に対して、
（Z^－）=x-iy=re^-iθ
になります。

積和の形になるとは、
Z・（Z^－）=｜Z｜^2という認識でOKでしょうか？
内積の重要な性質｜A｜^2 = A・Aは理解できます。

複素数ZとZにおける複素共役との積と認識しました。
積和とはどのような演算なのでしょうか？
三角関数で出てくる積和くらいしか心当たりがなくて・・・・

申し訳ございませんがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/01/15 13:35

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/01/13 23:01

>（　0　sinα　cosα　）

>ですが、これもどのようにすれば1になると示せるのでしょうか？

R^2ベクトルの大きさの定義(ユークリッドノルム)から

√(0^2 + (sinα)^2 + (cosα)^2) = 1


C^2(複素数の場合)では、ベクトルの大きさは
複素共役同士の積和になるのでご注意を！

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
ベクトルの大きさはノルムで求めるんでしたね。。。
理解できました。ありがとうございました。

＞C^2(複素数の場合)では、ベクトルの大きさは
＞複素共役同士の積和になるのでご注意を！
すいません。
基礎体にCをとる場合を考えていなかったのですが、
どういう意味でしょうか？
お手数ですが、もう少し詳しく教えて貰えないでしょうか？
複素共役についてはWikipediaで調べて理解しました。
なぜ、基礎体をCとした場合は複素共役同士の積和になるのでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/01/14 12:57

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/13 14:19

前半は OK.

後半は何を疑問に思っているのか読み取れないのですが, 単に「各ベクトルの大きさが 1」というだけです.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

後半部分ですが、
例えばx軸周りにα回転した回転行列の第2列は、
（　 0　）
（cosα）
（sinα）
ですが、これが1になるのでしょうか？
どうすれば1になると示せますか？

また、第3行は
（　0　sinα　cosα　）
ですが、これもどのようにすれば1になると示せるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/01/13 19:52