垂直抗力について教えてください！！

Question

傾きの角θのなめらかな斜面上に質量ｍの物体がある。重力加速度をｇとする。
このときの垂直抗力がmg/cosθにならないわけを教えてください

垂直抗力はmgcosθになるのはわかるのですがmg/cosθにはならないという説明をしてほしいです
図をみるとNcosθ＝mgが成り立ちそうにもみえるのですがどうしてNcosθ＝mgが成り立たないといえるのですか？

hitokotonusi · Accepted Answer

＞どうしてNcosθ＝mgが成り立たないといえるのですか？

斜面は滑らかなので摩擦力は働かず、斜面に沿って物体は滑り落ちますよね。
斜面に沿って滑り落ちるということは鉛直方向にも水平方向にも加速度の成分を持つので、
その加速度の分だけNcosθとmgには差があります。鉛直方向の加速度成分をayとすると

>Ncosθ＝mg

の代わりに

m ay = N cos θ- mg

という運動方程式が成り立ちます。

水平方向の運動方程式は、水平方向の加速度をaxとして

m ax = N sinθ

両辺二乗して足してみると

m^2 ( ax^2 + ay^2) =N^2 cos^2θ-2mgNcosθ+m^2 g^2 + N^2 sin^2θ=N^2-2mgNcosθ+m^2 g^2

ここでax^2 + ay^2 = a^2とし、斜面に垂直方向のつり合いからN=mｇcosθが成り立つので

m^2 a^2 = m^2 g^2 cos^2θ - 2mg(mgcosθ)+m^2 g^2 = m^2 g^2 ( 1-cos^2θ)=m^2 g^2 sin^2θ

ここでは全ての量が正なので、両辺の平方根をとると

ma = mg sinθ

という斜面に沿った方向の運動方程式になります。

hitokotonusi · Answer

＞最後にすいませんがN＝masinθ＋mgcosθも一応成り立ちますよね？

成り立ちます。普通に書くならN = m√[g^2 + a^2]でしょうけど。
この場合はcosθ＝g/√[g^2 + a^2]、sinθ＝a/√[g^2 + a^2]の関係があるので、結果的にはどの表記も同じです。

ただし、#６のお礼ではθもaも与えられていないので適切に定義してどの表記で書いてもいいのですが、
問題でθが与えられていて加速度aが与えられていないならaは使わずθのみで書くべきなので

N = mg/cosθ

が正解でしょう。

＞N＝masinθ＋mgcosθ

には加速度aが入ってしまっているので、解答中で適切にaが定義されていなければ減点されるかもしれません。
〈×にされることはないとは思いますが、ないとはいいきれません・・・・）

hitokotonusi · Answer

話を整理しなおすと添付図のようになりますか？
三角形の台に水平に力Fが働き、全体として左向きに一定の加速度aで動いている。

この場合なら、台とともに加速度aで動く加速度座標系で運動を記述すれば、
質問者さんが言われる通り、水平方向に慣性力-maが働くので垂直抗力は
重力mgと慣性力-maの合力になり

N cosθ= mg
N sinθ = ma

が成り立ちます。

gohtraw · Answer

作図
（１）まず、物体に働く重力ｍｇを鉛直方向下向きにかきます。
（２）重力を斜面に垂直な方向、および斜面に平行な方向に分解します。これらの分力をそれぞれＦ１、Ｆ２とします。
（３）すると、ｍｇが斜辺、Ｆ１およびＦ２がその他の二辺となる直角三角形ができます。
（４）Ｆ１は物体が斜面を押す力であり、その反作用が垂直抗力です。

（３）において、直角三角形の斜辺が他の二辺より短いってあり得ないですよね？これがＮｃｏｓΘ＝ｍｇが成り立たない理由です。

nananotanu · Answer

>後、鉛直方向に対して物体は釣り合っていないといえる理由はなぜでしょうか？

つりあっていないからこそ、このままでは(斜面にそって、とはいえ)下に落ちるんでしょ？

nananotanu · Answer

>例えばこの斜面をもった物体に水平方向左向きに一定の力を加えたときに質量ｍの物体が斜面に対して止まったとします
>このときの垂直抗力はＮｃｏｓΘ＝ｍｇが成り立ちます

成り立たないよ。
自分が新たに加えた「物体に水平方向左向きに一定の力」の、斜面に垂直な成分を忘れている。

hitokotonusi · Answer

#4ですが、訂正です。下向きを正とするので

m ay = mg - N cos θ

ですね。失礼しました。以下の計算は変りません。

gohtraw · Answer

Θ＝０の場合を除いて常にｃｏｓΘ＜１ですよね？もしここでＮｃｏｓΘ＝ｍｇ　が成り立つとすると
Ｎ＞ｍｇ　となるはずです。そもそも垂直抗力というのは重力を互いに垂直な二つの成分に分けた分力の反作用なのに、なぜ元のｍｇよりも大きくなるんでしょうか？他の回答者の方がおっしゃる通り、作図なり、定義なりが間違っています。

nananotanu · Answer

何も斜面が無い場合、物体にかかっている力は重力だけであり、物体は鉛直方向下向きに落下します。
そこに斜面が現れる事で、物体は鉛直方向には運動できず、斜面に沿ってしか動けなくなります。そこで、重力の内、斜面に平行な成分が滑り落ちる運動に使われます。残りの斜面に垂直な成分は(斜面により支えられ)斜面に垂直方向への運動には使われません。そこで、それに見合う抗力が物体に対して斜面から働き(重力の斜面に垂直な成分[＝物体が斜面を押す力]の反作用)、斜面垂直方向はつりあって運動がおきません。

即ち、重力の斜面への垂直成分が抗力とつりあっているのであり、抗力の鉛直(水平面に対する垂直方向)成分と重力がつりあうのではありません。

貴方は定義を(定義から)間違っています。

nananotanu · Answer

作図が間違っている

垂直抗力について教えてください！！

＞どうしてNcosθ＝mgが成り立たないといえるのですか？

＞最後にすいませんがN＝masinθ＋mgcosθも一応成り立ちますよね？

話を整理しなおすと添付図のようになりますか？

作図

>後、鉛直方向に対して物体は釣り合っていないといえる理由はなぜでしょうか？

>例えばこの斜面をもった物体に水平方向左向きに一定の力を加えたときに質量ｍの物体が斜面に対して止まったとします

#4ですが、訂正です。

Θ＝０の場合を除いて常にｃｏｓΘ＜１ですよね？もしここでＮｃｏｓΘ＝ｍｇ が成り立つとすると

何も斜面が無い場合、物体にかかっている力は重力だけであり、物体は鉛直方向下向きに落下します。

作図が間違っている

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