数学の論理的思考を試す問題が解けません。

閲覧ありがとうございます。解けなくて困っています。
下記の問題を解いてくださいm(_ _)m

五人の生徒が縦１列に並んでいる。そこに先生が白４つ、赤３つの帽子の中から適当に１つずつ選んでいき、生徒にかぶせた。例えば、真ん中の生徒は前二人の帽子の色はわかるが、自分を含めた残り三人の帽子の色はわからない。さて、王様が初めに１番後ろの生徒に自分の帽子の色を聞いたところ、生徒は「わかります」と答えた。次に後ろから二番目の生徒に帽子の色を聞いても「わかります」と答え、真ん中の生徒も前から二番目の生徒も自分の帽子の色がわかったという。さて、五人の帽子の色はどのような内訳だったか？理由も含めて解答せよ。
(ちなみに、残っている二つの帽子は隠してあり、それらの色は生徒にはわからない)


以上です。
どうしてもわからないので解いてください。お願いします。

No.8 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/02/02 03:02

Ｎｏ．２　元代数屋（元非常勤講師ね）です。

ゲーム理論は専攻なんだ。

これ公務員試験の問題じゃないかなぁ？　と思って

ちょっと意地悪な書き方をしていたんだけど。

問題がこのままだとすると、この問題は答えが何であっても正しい。

成立してないよ。　それが答えになると思う。


「帽子の色が分かるか」だけしか聞いていないでしょ？

あっているかどうかも確認していない。答え合わせしていないのね。

まして、嘘ついているかどうかも確認してない。

これだったら何でもアリです。

なので、回答をするときに、条件を付けていかなきゃいけないのです。


「全員が嘘をつかず、客観的に見て正しい答えをしているものとする」

「どちらでも構わない場合、分からないものとする」とかね。

　＃多分この二つでいいと思うけど。

上は当然必要なんだけど、下のは　前から二人目はどっちでもいいんですね。

第三者が見ても、成立してしまうので。

　＃（前　ＷＷＷＷＲ）　か　（前　ＷＲＲＲＷ）　これは両方ダイジョウブなのでね。

さてちょっと事情を書いておこう。

実は、σ(・・*)の同級生が公務員１種で電気工学の官僚になってました。

先日ね、σ(・・*)は行っていないのだけど、同窓会があったそうで

そいつが「オレはもう天下り二回目だ、退職金は大きいし、何もしなくてもいいから楽だよ」

と、のたまっていたそうでね。

こいつはカンニング魔でね～。よくσ(・・*)のノートを盗んでましたね。

世の理不尽さを感じた気がしてね、質問者さんには関係ないのだけど。

そういう意味では申し訳ない。ただ、答えだけ聞いて、ああそうか！で

終わっていてはダメですよ。同じような傾向の問題は出るみたいね。

そのときに、自分で考えてしっかりと自信持って解答してください。


後ろめたい思いがないように！　

邪推で終わればそれでいいけど。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.7 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/27 17:34

No.3です。

No.5，No.6さんの説明で良く理解できました。

自分は４番目の生徒は白だと思いこんでいて、赤３人白１人に対して

(2)→(5)後】○●○●●　【前
(2)→(6)後】○●●○●　【前
(2)→(7)後】○●●●○　【前

のパターンがあることを忘れていました。
図で描くとすごく明解で、答えが見えていますね。ありがとうございました。

No.6 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/01/27 15:56

　すみません、#5です。

　申し訳ありません。修正漏れで1行余計なものが残っておりました。

>　一番後ろの子は、残り4人が見えています。自分の帽子の色が確定するのは、「○4つが見えている」なら●、「●3つと使い切られ、○1つが見えている」なら○、どちらかです。
削除→>　どちらも、自分の帽子が●と確定します。

　この、「　どちらも、自分の帽子が●と確定します。」は削除し忘れた1行ですので、読み飛ばしをお願いします。

　言訳をいたしますと、ああでもない、こうでもないと無い知恵絞って考えつつ、書き散らかして、まとめようとして校正漏れてしまいました。m(_ _)m

No.5 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/01/27 12:41

　白帽子を○、赤帽子を●、順番が決められないときは[○m個●n個]（m、nは数字）と書くことにします。

　生徒は完璧な推理力があるとし、その推理だけで答え、あてずっぽうは言わないとします。

１>王様が初めに１番後ろの生徒に自分の帽子の色を聞いたところ、生徒は「わかります」と答えた。

　一番後ろの子は、残り4人が見えています。自分の帽子の色が確定するのは、「○4つが見えている」なら●、「●3つと使い切られ、○1つが見えている」なら○、どちらかです。
　どちらも、自分の帽子が●と確定します。
　なお、●が1～2個だと、○●どちらも使い切られていないことになり、自分の帽子の色は分かりません。

(1)後】●○○○○　【前
(2)後】○[●3個、○1個]　【前


２>次に後ろから二番目の生徒に帽子の色を聞いても「わかります」と答え

　(1)だとすると、2番目の生徒は○○○を見ています。しかも1番後の生徒が「分かる」というのですから、自分は○であるはずと分かります。

(1)→(3)後】●○○○○　【前

　(2)で、2番目の生徒が分かるのは、逆に●●●と、●が使い尽くされていて、自分が○と確定できるか、○が1個だけあれば●と確定できるときです。
　なお、○がちょうど2個だと(1)も(2)も成立しませんから、1番後の生徒が答えた内容と矛盾します。

(2)→(4)後】○○●●●　【前
(2)→(5)後】○●○●●　【前
(2)→(6)後】○●●○●　【前
(2)→(7)後】○●●●○　【前


３>真ん中の生徒も自分の帽子の色がわかった

　先の2人が自分の帽子の色を確定できたことを聞きました。
　この生徒としては、もし前に●●を見ていれば、(2)→(4)か(2)→(5)か区別はつきません。よって、この2つのパターンはないと分かります。
　もし、○と●が1個ずつあれば、(2)→(6)か、(2)→(7)しかなく、自分が●と確定します。
　もし、○が2個ならば、(1)→(3)しかなく、自分が○と確定します。

(2)→(6)後】○●●○●　【前
(2)→(7)後】○●●●○　【前
(1)→(3)後】●○○○○　【前


４>前から二番目の生徒も自分の帽子の色がわかった

　もし、この生徒が一番前の生徒の帽子が●なら(2)→(6)しかなく、自分は○と分かります。
　逆に○が見えていれば、(2)→(7)か(1)→(3)のどちらか、判断できません。

　したがって結局、(2)→(6)です。一番前の生徒は、これらを聞き終えたら、自分の帽子が●と答えるでしょう。

答：後】○●●○●　【前

No.4 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/01/27 11:47

No1さんに一票。

No3さんの解答だと、真ん中の人は自分の色を決められないはずです。
真ん中の人にたって考えてみると、見えている色は赤赤
後ろの二人は分かると答えている。とすると
赤赤赤白白なら後ろの二人は分かると答えるはず。でも
赤赤白赤白の場合でも後ろの二人は分かると答えることができる。ので、自分は赤でも白でもありうる。

この手の問題はしんどいですけど楽しいですよ。登場人物が皆、論理的思考能力がきわめて高く、かつ皆がそのことを知っているという前提で成り立つ問題ですよね。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/27 05:19

５番目の生徒は、前４人が白なら赤、赤３人白１人なら白　のどちらか

４番目の生徒は、自分の色が分かると言っているから、
前３人は赤、だから、４番目は白で５番目も白
真ん中の生徒は、４番目の生徒が分かると言っているから、
自分は３人目の赤だと分かる。よって、３番目は赤
２番目の生徒は、３番目も４番目も自分の色が分かると言っているから、
１番目の生徒が赤だったら自分は２人目の赤だと分かる。
１番目の生徒が白だったら自分の色が分からなくなるから、１番目は赤

よって、赤赤赤白白　の順　です。どうでしょうか？

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/01/27 03:15

はいこんばんは。

元代数屋です。

こういうのはね、「どうしても分からないから解いてください」じゃなくて

どういう考え方をすればいいのでしょうか？　とか

何かヒントをいただけないでしょうか？　のほうがいいです。

　＃丸投げになってしまっていますからね。

理解しようとすることを諦めてしまってはいけませんよ。


こういうのは冷静に、順を追って考えていくしかありません。

まず、条件をまとめてみましょう。

１．五人いて、縦に並んでいる。自分を含む後ろの人の帽子の色は分からない。

２．帽子は、白４つ　赤３つ。余った二つは分からない。

３．最後尾から順に「自分の帽子の色は？」と聞いていくと、前から二人目まで確実にわかる。

　＃先頭も分かっているのかな？　ここちょっと確認。


条件はこれだけしかないね。ここから考えていくしかない。

結構しんどいし、面倒だけど　冷静にやるしかない。

　＃解ける解けないも含めてね。実は問題自体が成立しないかもしれないからね。


最後尾の人が見えている景色を考えよう！

　＃まずこれ！

最初に思い浮かぶのは、前４人が「白」なら、最後尾は「赤」しかありえない。

便宜的に、こういう書き方をしていきます。

前から　ＷＷＷＷＲ　。　Ｗは白ね（Ｗｈｉｔｅね）　ＲはＲｅｄ

　＃これなら前４人は白ですね。

後ろから二人目の人が見える光景は、　ＷＷＷ？？　こうなっているはずね。

最後尾の人が自分の色ははっきり分かると言った。このことから、

ＷＷＷＲ？　だったら、最後尾は分からないはずだから、ＷＷＷＷ？のはず！

ということで、二番目の人は白。

とこんな風に考えて行けばいいとおもいます。


答えがこれだけしかないかどうか、一番前が答えられるのかどうか、

これをちょっと確かめてみてください。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2012/01/27 03:03

＞１番後ろの生徒に自分の帽子の色を聞いたところ、生徒は「わかります」と答えた。

これから分かることは、
　前の４人のうち３人が赤なら、自分は白
　前の４人が全員白なら、自分は赤
のどちらかです。


＞後ろから二番目の生徒に帽子の色を聞いても「わかります」と答え

これから分かることは、
　前の３人が全員赤なら、自分は白
　前の３人のうち２人が赤なら、もし自分が白なら１番後ろの生徒は自分の色は分からないので、自分は赤
　前の３人が全員白なら、もし自分が赤なら１番後ろの生徒は自分の色は分からないので、自分は白
のどれか。


＞真ん中の生徒も自分の帽子の色がわかった

これから分かることは、
　前の２人が赤白１人ずつなら、もし自分が白なら１番後ろの生徒は分からないので、自分は赤
　前の２人が全員白なら、もし自分が赤なら１番後ろの生徒は分からないので、自分は白
のどちらか。
（前の２人が全員赤なら、自分が赤白どちらでもなら後ろから二番目の生徒は自分の色が分かるので、自分の色は不明です）


＞前から二番目の生徒も自分の帽子の色がわかった

これから分かることは、
前の人が白なら、自分が赤白どちらでもなら後ろから二番目の生徒は自分の色が分かるので、自分の色は不明
よって、前の人は赤で、自分の色は白


以上から、
前の生徒から順に、赤白赤赤白　となります。