サッカーボール 多面体の辺の数

サッカーボールの表面は、１２個の正五角形と２０個の正六角形で囲まれた多面体を丸くふくらませた球である。この多面体の辺の本数を求めよ。

という問題の解説のなかで、正五角形と正六角形はそれぞれ５，６個の正三角形からできているとあり、その多面体のそれぞれ真ん中に中心があり正三角形があるような図があるのですが、正六角形から６個の正三角形が作れるのはわかるのですが、正五角形からは５つの正三角形はできるでしょうか？

解説の図をみると、正六角形のきれいな正三角形より正五角形の場合中心がすこしずれた感じで
正三角形ができているのですが、これは正三角形でしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： sub_6 回答日時： 2012/02/13 07:23

回答からいえば正三角形になります。

正五角形の部分は正三角形５つからどうつくるかということですが、
正確には底面が正五角形の五角錘をつくっているのです。
中心がずれているのは、
ほんとうは立体だから、見る角度によってずれているからです。

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正二十面体の頂点を切り落としたものがサッカーボール状の図形になります。
作り方は、正二十面体の正三角形から３分の１サイズの頂点を切り落とします。

このとき、切り落とされた頂点は正三角形が５つ集まった正五角形になります。
残りの部分は、正三角形の頂点を切り落とした正六角形になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

そういうことだったのですね・・・。
図まで載せて頂きすごくわかりやすかったです。

お礼日時：2012/02/14 04:42

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/13 15:01

この問題には、その図形の何を既知としてよいのかが不明だという

出題上の難点があり、問題として成立しているかどうか、イマイチ怪しいです。
例えば、A No.3 の図のような詳細なことが既知であれば、
「図を見て数えた」と言って、いきなり答えを書いても通用しそうです。
A No.1 の、五角形・六角形の個数についても、同様です。

そうでない解法を、一応考えてみました。
問題の図形の、頂点の数を V, 辺の数を E,
五角形の数を P, 六角形の数を H と置きます。
面の総数は P+H です。
ガウスの多面体定理より、
V-E+(P+H)=2　…[1]
一つの頂点に五角形一つと六角形二つが集まるから、
P:H=1:2　…[2]
5P+6H=3V　…[3]
一つの辺には二つの面が集まるから、
5P+6H=2E　…[4]
[1]～[4]の連立一次方程式を解くと、
E=102 を含む解を得ます。

この解法にしても、やはり、
[1][3][4]はよいとして、[2]が既知でよいのか？
という不安は残ります。
[2]～[4]は、局所的な情報から立式しており、
大域的な特徴を既知とする解法よりは
マシだろうとは思うのですが。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/12 21:42

その解答例の、せめて粗筋を書かないと、

何のために三角形が出てくるのかも解らないし、
回答のしようがない。図なんか要らないけどさ。

正三角形ってトコロにこだわっているようだけど、
どうせ「膨らませる」んだから、細部は気にせず、
五角形も重心で分けて、二等辺三角形に分割
しといたらいいんじゃないの？
それでは成り立たない解法なの？

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/12 21:09

>解説の図をみると、正六角形のきれいな正三角形より正五角形の場合中心がすこしずれた感じで

>正三角形ができているのですが、これは正三角形でしょうか？

図が添付してないので回答不能です。

サッカーボール多面体の辺の本数は参考URL図のように
１２個の正五角形と２０個の正六角形から成り、各辺は構成する
１２個の正五角形と２０個の正六角形の辺が2本ずつ重なり合って出来ているから
多面体の辺の数Nは
　N=(5*12+6*20)/2=(60+120)/2=180/2=90（本）
となります。

参考URL：http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/570_ …