RLC回路の質問

起動力と直列につないだ抵抗、コイル、コンデンサーを持っている回路で、
L=１0H、R=1000Ω、C=1マイクロF　E=１000V
をキルヒホッフの法則　L・（ｄI/dt）^2+R・ｄＩ/dt+I/C=0　
を用いたときのＩとＱの値を教えてください。
自分でも以下のように解いてみましたが、正しいでしょうか。

I=20/√39e^(-50t)・sin50√39t
Q=1/1000-1/1000√39・e^(-50t)・｛19sin50√39t + √39cos50√39t}

またＩとＱをexcelでどのようにグラフ化すればいいでしょうか。
（セルに　「=20*39^(-1/2)*EXP(-50*A2)*SIN(50*39^(1/2)*A2」 のように
入力すればいいですか。）

さらに共振周波数は1/2π√LCに当てはめて　50.33MHZ で正しいでしょうか。

計算が複雑で申し訳ないですが、部分的に回答していただいても
構いませんので宜しくお願いします。

No.6 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/02/27 16:45

>直列の抵抗 - コイル - コンデンサに 1000V を印加していた状態で、1000V を切り離したときの応答ですかね。

あれ，問題設定にいろんな説が出てきました。

直列の抵抗-コイル-コンデンサが開放されていて，そこに
電圧1000Vの電源を接続した後の応答を求めるつもりで，#2は回答しています。
質問者さんも，#2も，
t→∞の最終状態では，コンデンサに1000Vかかって，1mCが溜まる，という答です。

電流振幅も諸説でてきましたね。
初期条件t=0のときQ=0,i=0なので電圧はすべてコイルにかかります。
Ldi/dt=Eより
di/dt[t=0]=1000V/10H=100A/sで増えるはずです。

i(t)=A*e^(λt)*sin(ωt)とおくと
di/dt=A*{λe^(λt)*sin(ωt)+ωe^(λt)cos(ωt)}
di/dt[t=0]=A*ω=100A/sより，
電流の振幅はA=100/{50√39}=2/√39のはずです。

この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。
まだ時間に余裕がなく最後まで確認していませんが、
上記の回答を参考にさせていただきます。

お礼日時：2012/02/27 22:01

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/02/27 13:47

さらなる勘定ミス。

　　i(t) = Q'(t) = (50*40/(100*√39)e^(λt)*sin(ωt)

じゃないかな。

この回答へのお礼

ご丁寧に訂正していただきありがとうございます。

お礼日時：2012/02/27 20:22

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/02/27 12:54

勘定ミス。

　　i(t) = Q'(t) = (50*40/√39)e^(λt)*sin(ωt)

らしい。
　　　

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/02/27 12:39

解の形から憶測するに、直列の抵抗 - コイル - コンデンサに 1000V を印加していた状態で、1000V を切り離したときの応答ですかね。

どうやら、
　　10*(dQ/dt)^2 + 1000*(dQ/dt) + 1000000*Q = 0　　　…(1)
なる微分方程式を、初期条件
　　Q(0) = 1000*10^(-6) = 10^(-3)
　　i(0) = Q'(0) = 0
のもとに解いている模様。

(1) の解、
　　Q(t) = A*e^(rt) + B*e^(st)
　　r = λ+ jω = -50 + j50√39
　　s = λ- jω = -50 - j50√39
初期条件から、
　　A = 10^(-3)*λ/(2jω)
　　B = 10^(-3)*λ/(2jω)
が得られ、
　　Q(t) = 10^(-3)*e^(λt)*{cos(ωt) - (λ/ω)sin(ωt)}
またこれを微分して、
　　i(t) = Q'(t) = (50*38/√39)e^(λt)*sin(ωt)
になりそう。

excel でのグラフ化。
グラフ化したい t のステップ系列をセル列に入れておき、それに対応して Q(t), i(t) の演算式を他の列たちへ書き込む。(当たり前か…)
　　　　

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/02/26 15:55

すこし違ってます。

ω = 50*√(39)，λ=-50とおいて
i(t) = {2/√(39)}*exp(λt)*sin(ωt)
Q(t) = 1/1000 - (1/1000)*exp(λt)*{sin(ωt)/√(39) + cos(ωt)}

この回答へのお礼

早速ご回答いただきありがとうございます。
もう一度、どこで計算ミスしたか考え直します。

お礼日時：2012/02/26 17:51

No.1 回答者： fjnobu 回答日時： 2012/02/26 11:50

50.3Hzですね。

ＭＨｚでは全く単位が違います。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。

お礼日時：2012/02/26 11:59