数学的帰納法

Question

nが自然数のとき、次の等式(＊)を数学的帰納法を用いて証明せよ。
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)・・・(＊)

今日、数学的帰納法を勉強すていて自分で回答をつくったのですが、これでいいのか見てもらえませんか？

2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)
(1)n＝1のとき、左辺2、右辺2、よって成り立つ

(2)n＝kのとき
2＋4＋6＋…2k＝k(k＋1)・・・１
が成り立つと仮定すると
n＝k＋1
2＋4＋6＋…2k＋2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)・・・2
が成り立つことを証明する
2＋4＋6＋…2k＋2(k＋1)＝k(k＋1)＋2(k＋1)・・・3

2と3の右辺が一致するので、(＊)は成り立つ

(1)(2)より、すべてな自然数は成り立つ

・・・3のところを
2＋4＋6＋…2k＋2(k＋1)＝k(k＋1)＋2(k＋1)
                                             ＝(k＋1)(k＋2)
                                              ＝kの2乗＋3k＋2
よって成り立つ

こうしてもよいのでしょうか

自分でつくったためあっているかわかりません
教えてください。

Tacosan · Accepted Answer

ちょっと気になるのは
「2と3の右辺が一致するので、(＊)は成り立つ」
としているところかな. まあいいといえばいいけど, とりあえず式3 から
... = (k+1)(k+2)
まではもっていくべきかと. 丁寧にやるならさらに
= (k+1)[(k+1)+1]
として, これが最初の
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)
において n を k+1 としたものと等しい, とするといいね.

なお, 式2 において両辺を等号で結ぶこと自体は問題ありません. また, 「証明問題の回答内に目標を提示する」のもおかしなことではありません. 「証明すべきものである」ことをきちんと述べておけば OK です.

おっと, 最後の「すべてな自然数は成り立つ」もおかしいねぇ. 日本語の問題だけど.

alice_44 · Answer

目標の式 2. を先に提示すること自体は、貴方のように
目標の式であることを明示して書く分には、問題ない。

が、2. が間に入ったことによって、1. から 3. を導いた
ことが見えにくくなってしまったことは、難点といえる。
説明なく唐突に 3. が現れたようにも見えるので、
答案としての証明であれば、減点対象になる可能性もある。
もう少し、文章を推敲しよう。

2. が結論の式を n=k+1 としたものであることは、
この証明では明示されていると見てよいと思う。
(そのための「提示」なのだから。)

質問文末の式変形は、書かない方が却って論旨が見えやすい。

yyssaa · Answer

・・・3のところを
2＋4＋6＋…2k＋2(k＋1)＝k(k＋1)＋2(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2) 　ここまでにして、
2＋4＋6＋…2k＝k(k＋1)・・・１　はKをK+１としても
成り立つから・・・とするのが一般的でしょう。

DJ-Potato · Answer

２はこの時点では証明されていない事なので、＝で結んではいけないらしいです。
まぁ、証明問題の回答内に目標を提示するのはおかしいですね。

３のままで終了すると、あと一歩、と言われてダメですね。
=k^2 + 3k + 2　とまで書くと、むしろ分かりにくくなるので、△になっちゃうかもしれません。

n = k のとき　k(k+1)が成り立つ時
n = k + 1 のとき (k+1){(k+1)+1}が成り立つ、ことを証明したいので。

数学的帰納法の時は、あんまり展開し過ぎない方がいいと思いますよ。

Okayan_T · Answer

とってもいい問題を作ったと思いますよ。すばらしい！

ちなみに
＞・・・3のところを・・・

＞こうしてもよいのでしょうか

した方がいいと思います。完全に一致するまでそれぞれの項を計算しないと同一とは言えませんからね。

数学的帰納法

ちょっと気になるのは

目標の式 2. を先に提示すること自体は、貴方のように

・・・3のところを

２はこの時点では証明されていない事なので、＝で結んではいけないらしいです。

とってもいい問題を作ったと思いますよ。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング