これは垂直？

この問題でわからないことがあったので質問します。


この三角柱について答えましょう。
　・辺イウに垂直な辺はどれですか。


この問題で、辺イオ，辺ウカ，辺アイまでは分かったのですが、辺アエと辺エオも垂直になるのかが分かりません。
交わらないから垂直にはならないのでしょうか？

分かる方がいたらよろしくおねがいします。

No.14 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2012/03/01 10:08

Webの情報に頼るのも嫌いですが...

* 例えば日本語wikipediaでは
垂直とは二つの幾何学的対象のなす「角」が直角であること（そのあとでなぜか「直交」の説明がわざわざありますが）とあり、「角」とは諸々の線や面の 2つが「交わって」、その「交点」や「交線」のまわりにできる「図形」を指すとある事から、垂直の場合に2直線が「交わる」ことは前提とされています。

*またen wikipediaを見ても、
- In geometry, two [ethticitie e (geometry)|lines]] or planes (or a line and a plane) are considered "perpendicular (or orthogonal)" to each other if they form congruent adjacent **angles** (a T-shape). (en wikipediaではperpendicularとorthogonalとの区別がない）
- In geometry, an angle is the figure formed by two rays, called the sides of the angle, **sharing a common endpoint**, called the vertex of the angle.
とある事から、やはり2直線が「共有点を持つ」事が前提とされています。

* さらにwolfram mathworld を見ても
http://mathworld.wolfram.com/Perpendicular.html
Two lines, vectors, planes, etc., are said to be perpendicular if they **meet** at a right **angle**
　とあって、

やはり『2直線が』垂直と言われれば「交わる」ことは前提とされていると見てよいと思います。

多分他の方が「高校では定義が異なる」とかうんぬん言っておられるのは、一般に2「ベクトル」が垂直（この場合"orthogonal")である事の定義と混同しているのではないかと思います。ベクトルの場合は方向のみを考えるので、共有点がどうのという概念を持ちません。

再びen wikipedia では、
- Orthogonality ..... has somewhat different meanings depending on the context, but most involve the idea of perpendicular, **non-overlapping**, varying independently, or uncorrelated.
とありますが、2直線の場合はやはり
In mathematics, two lines or curves are orthogonal if they are perpendicular **at their point of intersection.**
とあって、やはり交点を持つことが前提とされています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ベクトルのことはよくわかりませんがそれが混乱させているのですね。
単純に考えれば垂直ではないということになるのですね。
難しいです。

お礼日時：2012/03/01 17:18

No.13 回答者： noname#166245 回答日時： 2012/03/01 00:27

質問と他の方の回答を読んで、どうだったかな～と、

手許の中学生向けの参考書（「自由自在　中学数学」受験研究社）を
見てみました。

すると、
2直線の位置関係（交わる、平行、ねじれ）の説明の中で、

「2直線 ｌ、m が交わり、そのなす角が直角のとき、
2直線 ｌ、m は垂直である（直交する）といい、l⊥m と書く。」

とはっきりと書かれています。

従って、これを見るかぎり、「2直線 ｌ、m が交わり、」と
交わっていることが条件になっていることから、
垂直であること＝直交すること　になっており、
今回の問題の場合、ねじれの位置にある辺は含めないことになります。

実際、その後の例題で、「図の直方体の辺ABと垂直な辺は
どれですか」という問いがあり、交わっている辺の４つだけが
答えになっています。

また、啓林館（教科書出版社！）のHP
http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/
で
右側にある10分間ドリル小学6年生用の問題があり、その中のひとつ
http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/kodomo/10pu …
でも垂直な辺を答えさせていて（９）、
その答えはやはり直行している４つだけになってます。

従って、少なくとも、小学生・中学生に関しては、交わっているものだけが
答えとなることは、教科書上、一致しているのではないでしょうか。
（教科書をもっていないのですが、もし近くの人がお持ちなら確認されると
いいと思います）

※なお、線分であってもその延長線上で交わるもの（ねじれの位置でないもの）は
交わるものと同様、垂直と捉えるようです。

※なので、リンクにあがっていた、塾の先生のサイトの記述は
（ http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/339838 … にもあります）
完全にあっていると考えます。

高校でベクトルを習うまではこれでよいのではと思いますが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

高校と小・中学校で答えが違うっておかしいですね。
今のところは垂直ではないということで考えていいんですね。

お礼日時：2012/03/01 17:10

No.12 回答者： waseda2003 回答日時： 2012/03/01 00:27

既に回答が出ているように，辺アエと辺エオも，辺イウと垂直です。

（ただし，アエオイ，イオカウ，ウカエアがそれぞれ長方形の場合）
それは平行移動してみればわかると思います。

「垂直」の定義は，高校も小中学校も同じです。
混乱の原因は，小中学校では同一平面上にない２直線は「共有点なし」と
してそれ以上は議論しないことになっているのを，「共有点がないときには
垂直といわない」というウソを言いふらしている人がいるということです。
ちょっとした論理の問題ですが，「議論しない」のであって，「垂直と
言わないわけではない」のです。

もし，小中学校で出題されたというのなら，定義をきちんと述べずに
同一平面上にない２直線が含まれる設定を出題するのがまずいのであって，
数学の問題点ではないと思います。
そもそも，共有点があるかないかということと，平行・垂直は別の種類の
概念であって，共有点がなくても垂直や（２直線が）重なっていても平行
といっても何の混乱も起きないはずです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

垂直でないというのは本当に嘘なのでしょうか？
まだはっきりしたことは決まっていないのかもしれないですね。
でも、今は垂直ではないということで修めておきます。

お礼日時：2012/03/01 17:06

No.11 回答者： moto_koukousei 回答日時： 2012/02/29 23:50

このような説明をしている人もいるので参考にしてください。

http://plaza.rakuten.co.jp/topclassmeruma/diary/ …
　
なお、上のURLで、下のように説明しています。
「これが高校数学になると、二直線のなす角の定義を次のように変えます。」
「このように定義を変えれば、ねじれの位置にある二直線も平行移動して交じ合わせることができるので、それが直交するならば垂直であるということができるようになります。」
高校で、そう教わるならば、高校ではそう言えるということで、小中学校では定義が違うならば、小中学校では垂直とは言わないということです。
高校で位置を問題にしないベクトルのなす角を教わるかもしれませんが、空間で位置が固有である直線のなす角とは違うと教わるかもしれません。
角柱の底面と側面は直交するとは限りません。四角形の角度が直角ではない場合があるのと同じです。　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E6%9F%B1
算数や数学の問題で、明らかにされていない部分を（きっとこうに違いない）と自分で決めてしまうと、正しい答えがでない場合もでて来ます。
小学校で習ったのが、「角柱は、正角柱（底面と側面は垂直で、側面と上面も垂直、底面と上面は必ず平行）」となっているのであれば、それをベースに考えてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

やはり高校と小・中学では定義が違うのですね。
角柱の底面と側面は直交するとは限らないって言うことは初めてりました。（まだ習っていません）

お礼日時：2012/03/01 17:02

No.10 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/02/29 23:24

ほえ？？

http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/213185 …

”ねじれの位置”って何ですか？
小学校高学年。中学校でこれを教えるようになってるの？
文部省の指導要領で。それなら仕方ないけど。

もしこの方が勝手に言っているのであれば笑いもの。

あなたには助けに船のURLですね。

この回答へのお礼

皆さん、この二日間、たくさんの回答をありがとうございました。
結論として、「これは垂直ではない。」です。
仕事場などではこれを垂直と見なす場合があるらしいのですが、これは、ねじれの位置にあって、辺イウ，辺アエ、もしくは辺イウ，辺エオを伸ばしても２つの辺は交わらないので、垂直ではないそうです。
多分、小・中学校の場合だと思います。
これはなんと言ってもどうしようもない事です。

moto_koukouseiさん、info22_さん、59313さん、nag0720さん、ferienさん、saganstarさん、TheWK1981さん、moto_koukouseiさん、waseda2003さん、nkkn5さん、tmpnameさん、本当にありがとうございました。

お礼日時：2012/03/01 16:59

No.9 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/02/29 21:11

小学校5年生の娘の子がテストで×をもらった。

理由を聞くと交わらないので、垂直でないと思ったと言う。

娘の仇を討つためにここで質問することにした。
しかし、残念ながら交わらなくても垂直です。

これで、出題教諭へ抗議はできなくなりましたね。

しかし、その図をだしてその問題は、悪い問題と言えます。
見にくくて、錯覚を起こしやすく、勘違いを起こしやすい。

この回答へのお礼

No.6さんですね

もう少し考え方などを書いていただくとありがたいです。
図のことは失礼しました。
もう少し分かりやすい画像を持ってくればよかったですね。

お礼日時：2012/02/29 22:45

No.8 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/02/29 20:50

No.7 です。

本問の場合，ねじれの位置にあるアエも平行移動させればイウと直交しますのでアエは垂直です。イオ，ウカはもちろん垂直です。

この回答へのお礼

さっきの考え方でいくとそうなりますね。

お礼日時：2012/02/29 22:47

No.7 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/02/29 20:46

高校の数学では，たとえねじれの位置にあっても一方の辺を平行移動させて2本の辺が直交すれば2本の辺は垂直といえます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

高校の数学ではと言うことは中学と高校では別のことを習うのですかねえ。

お礼日時：2012/02/29 22:39

No.6 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/02/29 20:08

小学5年生ですか。

なるほどね。
高校生で、垂直でないと思って、回答しなかったら
間違いだった。

癪に障るので、ここで確認をしている。
しかし、残念ながら、交わらなくても垂直です。

これで、数学教師に抗議はできなくなりましたね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

うーんうーん・・・。（笑）
よくわかりませんねぇ。
それではNo.４さんの
http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/213185 …
はどうなるのでしょう？

お礼日時：2012/02/29 22:36

No.5 回答者： ferien 回答日時： 2012/02/29 19:00

この問題で、辺イオ，辺ウカ，辺アイまでは分かったのですが、辺アエと辺エオも垂直になるのかが分かりません。

＞交わらないから垂直にはならないのでしょうか？

辺アエと辺エオは、辺イウと同一平面上にないので、ねじれの位置にある辺だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

No.４さんと同じですね。
僕の姉がちょうど空間図形を習ったところらしいのですが、聞いてみたらねじれの位置にあるから垂直ではないと言っていました。
やっぱり垂直ではないのでしょうか。

ちなみに、今のところの僕は垂直ではないと思っています。

お礼日時：2012/02/29 19:38