質問

一辺の長さが2の正四面体について
(い)正四面体に外接する球の表面積を求めよ
(ろ)正四面体に内接する球の体積を求めよ
(は)外接球、内接球の表面積の比と体積の比を求めよ

解説お願いします

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回答 (4件)

出来ればなぜそうなるのかが知りたいです
>
内接する球は、正四面体の各面に1点で接し、その各接点と
内接する球の中心とを結ぶ各線分は、それぞれの面と直交
し、各線分の長さは全て等しく、その長さは内接する球の
中心とそれぞれの面との距離、すなわち内接する球の半径
になります。
今、正四面体の底面の正三角形を△ABC、内接する球の中心
をOとすると、OとA、B、Cとをそれぞれ結ぶ線分と△ABC
とで出来る三角錐の体積は、△ABCの面積×内接する球の半径
の3分の1になります。そして正四面体の各面を底面とする
同じ大きさの三角錐が4個でき、それらの体積の合計が
正四面体の体積と等しくなります。

この回答へのお礼

なるほど ありがとうございます!

図のように正四面体の特徴点にA,B,C,D,M,H,Oを割りふる。
Mは辺CDの中点、△BCD⊥AH、AO=BO=CO=DO=R(外接球の半径)とします。

(い)
 AM=BM=√3, HM=1/√3, AH=√{AM^2-HM^2}=√{3-(1/3)}=2√6/3
 BH=(2/3)BM=2√3/3,

 BH^2+(AH-R)^2=R^2
 4/3+(2√6/3-R)^2=R^2
 4/3+8/3-4R√6/3=0
 R=√6/2
 外接球の表面積S=4πR^2=6π

(ろ)
正四面体の体積V1=(底面積)*AH/3=CM*BM*AH/3
=1*√3*(2√6/3)/3=2√2/3 ...(A)
△BCD=CM*BM=1*√3=√3
内接円の半径をrとすると正四面体の体積V1は
 V1=4*三角錐OBCD=4*△BCD*r/3=4r√3/3 ...(B)
(B)=(A)とおいて
 4r√3/3=2√2/3 ∴r=1/√6
内接球の体積v=(4/3)πr^3=(4/3)π/(6√6)=π√6/27

(は)
内接球の表面積をs, 外接球の体積をVとすると
表面積の比S:sは
 s=S*(r/R)^2 より
 S:s=1:(r/R)^2=1:{(1/√6)/(√6/2)}^2=1:(1/9)=9:1

体積の比S:sは
 V=v*(R/r)^3  より
 V:v=(R/r)^3:1={(√6/2)/(1/√6)}^3:1=27:1

この回答へのお礼

ありがとうございます!

平面図形で、正三角形・正方形などの正多角形で、
重心=外接円の中心=内接円の中心、になるのと同様に、
(外心、内心は、三角形専用語だから、使わない)

空間図形でも、正四面体・正六面体などの正多面体では、
重心=外接球の中心=内接球の中心、になります、
(このくらいは、学校の定期試験で特に指示があれば別ですが、
入試や模試では証明なしに使っても大丈夫のはず)

なので、(い)で、外接球の半径はすぐ解り、表面積が出る。

(ろ)は、正四面体を、A-BCD、重心(=内接球の中心)をG、
ΔBCDの重心をH、CDの中点をMとすると、
BMはΔBCDの中線で、Hは重心だから、AH:AM=2:1、
△ABMで、A,G,Hは一直線上にあって、AH⊥BM、や、
AG:GH=3:1などの関係から、GH=内接球の半径が求められる、
すると、体積も出る。

という具合にやっていくのがよさそう。

ベクトルを前面に押し出して、交点の位置ベクトルは、
などとやると、計算が結構面倒に…

この回答へのお礼

ありがとうございます!

方法だけです。

正四面体の体積を計算する(三角錐の計算)。
その4分の1を正四面体の1面の面積で割ると
内接する球の半径の3分の1になる。
内接する球の半径が分かれば、外接する球の
半径が分かる。
二つの球の半径が分かれば、(い)(ろ)(は)の
計算が出来る。

この回答へのお礼

ありがとうございます!
出来ればなぜそうなるのかが知りたいです

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