X^5=1の解

三角関数を用いた解が教科書に載っているのですが、これは覚えるようなものなのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/24 16:12

#１です。

A#1の補足質問について

>e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5)　これはわかるのですが
>e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5)はどうして４になるのでしょうか？

オイラーの公式
e^(iθ)=cosθ+isinθ
は常に成り立つ関係だから
θを θ=±2π/5と置いても、θ=±4π/5と置いても
成り立ちます。
２で成り立つことが分かっていて、４で成り立つことが分からないとは、何か勘違いしてませんか？

あるいは
>x=e^(i2nπ/5)
から、以下が導かれることが分からないでしょうか？

>x=1,
> e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5)
> e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5)

n=0とおけば x=e^0=1
n=±1とおけば　x=e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5)
n=±2とおけば　x=e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5)
（これ以上の|n|に対してはどれかに重なるだけ、５乗解は５個しかないから上のどれかと重なるだけ。）

n=±1の場合だけ分かり、n=±2の場合が分からないということでしょうか？

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2012/03/23 14:46

X^5=1はどうでもいい。

しかし、X^n=1の解法は、数学には珍しく「おぼえるようなもの」だと思いますね。多項式を複素数の範囲で扱うと、しょっちゅう出て来るからです。ただし、「三角関数を用いた解」だなんて認識では憶えてもしょうがない。既に回答が上がっている通り、オイラーの定理の基本的な応用のひとつとしておぼえるんです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/24 15:15

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/03/23 12:06

No.3 です。

またやってしまいました。オンラインで書いたのでミスってます。

(誤)θ=(1/5)n　(正)θ=2π(1/5)n

ついでに 補足

a, b を複素数とすると

|ab|=|a|・|b| だから |x^5| = |x|^5 = 1 ⇒ |x| = 1

なので x はガウス平面で原点を中心とする単位円の上にあります。

x = e^(iθ) なら x^5= e^(i5θ) なので 5θ = 2πn(nは整数)

を解けばよいことになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2012/03/24 15:33

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/23 09:56

＞これは覚えるようなものなのでしょうか？

憶えるようなことではなく、そこで語られている事を理解して、その応用ができることが必要。
暗記は最悪。

｜X｜＝1から　X＝cosθ＋i*sinθ　と置ける。
よって、ド・モアブルの定理から、X＾5＝cos5θ＋i*sin5θ＝1.
cos5θ＝1、sin5θ＝0から　nを整数として、5θ＝2nπ。
つまり、X＝cos(2nπ/5)＋i*sin(2nπ/5)　　

これは、単位円において　中心角が全て2π/5の5つの二等辺三角形で作られている正５角形を表している。

この回答への補足

ごめんなさい　勘違いです。　これでnに１－５を代入して解を出すってことですね

補足日時：2012/03/24 15:32

この回答へのお礼

これだと解が２つしかでないとおもうのですが、1とこの二つ以外はどうやって出せるのでしょうか？
暗記というよりは、たとえば解の公式のように、暗記は論外だが覚えておかないと話しにならないみたいなものなのかということです。

お礼日時：2012/03/24 15:18

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/03/23 09:23

公式を覚えるよりもオイラーの定理を覚えたほうがよいでしょう、

オイラーの定理からはほとんど自明です。

exp(iθ) = cosθ + i・sinθ

これから θ=(1/5)n (n = 0～4) が解であることは幾何学的な
推測から直ぐに解ります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2012/03/24 15:33

No.2 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/03/23 07:09

1を極形式で表す。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/24 15:18

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/23 05:17

すぐ導出できるようにしておけば、覚える必要はないでしょう。

僕は２通りの解き方しか覚えていません

[１つ目]

x^5 -1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
x=1
と
x^4+x^3+x^2+x+1=0

左辺対称式なので
x≠0よりx^2で割り、x+(1/x)=tとおく。

x^2＋(1/x^2)+x+(1/x)+1=0
t^2 +t-1=0
t=(-1-+√5)/2=x+(1/x)
2xを掛けて
2x^2+(1+-√5)x +2=0
x=(-1-+√5+i√(10-+2√5))/4, (-1-+√5-i√(10-+2√5))/4 (複符同順)
x=1と2組みの↑の共役複素数解

[２つ目]
x^5=1=e^(i2nπ)
x=e^(i2nπ/5)
x=1, e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5)
, e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5)
(複符同順)
複素座標上の単位円の円周をz=1を基準点として5等分した５個の点のz=x+iyが解
ということになる。

以上の2通りの解法は、直ぐ解けるようにしておけば、敢えて解や答えを丸暗記
する必要はないでしょう。

この回答へのお礼

e^(±i2π/5)=cos(2π/5)±isin(2π/5)　これはわかるのですが
e^(±i4π/5)=cos(4π/5)±isin(4π/5)はどうして４になるのでしょうか？

お礼日時：2012/03/24 15:22