No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)t=√3 sinx+cosx=2sin(x+ π/6)
0<x<πで -1<t≦2
t^2=3(sinx)^2+2√3sinx cosx +(cosx)^2=3(1-(cosx)^2)+√3sin2x +(cosx)^2
=2-(2(cosx)^2-1)+√3sin2x=2-cos2x+√3sin2x
∴√3sin2x-cos2x=t^2 -2
f(x)=t^2+kt-2
(2)k=-1/√3 のとき
t^2-(1/√3)t-2=0 を解いて t=√3 , -2√3/3 、-2√3/3は不適
2sin(x+ π/6)=√3 より x+ π/6=π/3 , 2π/3 ∴x=π/6 , π/2
(3) g(t)=t^2+kt-2 とおく。
g(0)=-2<0
g(-1)=-(k+1), g(2)=2(k+1) なので g(-1), g(2) のいずれかが正。
-1<t≦2 に t^2+kt-2=0 は解をもつので、f(x)=0 は解をもつ。
No.1
- 回答日時:
kを実数とし、関数f(x)をf(x)=√3sin2x-cos2x+k(√3sinx+cosx)とする。
>(1)t=√3sinx+cosxとおくとき、f(x)をtの二次式で表せ。
√3sin2x-cos2x
=2√3sinxcosx-(cos^2x-sin^2x)
=(√3sinx+cosx)^2-2(sin^2x+cos^2x)
=t^2-2
よって、f(x)=t^2+kt-2
>(2)k=-1/√3のとき、0<x<πの範囲で方程式f(x)=0の解を求めよ。
t=√3sinx+cosxより、t=2sin(x+π/6),
0<x<π ……(1)より、π/6<x+(π/6)<7π/6 ……(2)
-1/2<sin(x+π/6)≦1より、-1<t≦2 ……(3)
t^2+(-1/√3)t-2=0
√3t^2-t-2√3=0
(√3t+2)(t-√3)=0
(3)より、t=√3
2sin(x+π/6)=√3
sin(x+π/6)=√3/2
(2)より、x+π/6=π/3,2π/3
よって、x=π/6,π/2 これらは(1)を満たす。
>(3)0<x<πの範囲で方程式f(x)=0は任意の実数kに対して解をもつことを示せ。
f(x)=t^2+kt-2=0より、
(t^2-2)+kt=0
任意の実数kに対して成り立つには、
t^2-2=0とt=0が同時に成り立てば良い。
t^2-2=0から、t=±√2
(3)より、t=√2
2sin(x+π/6)=√2
sin(x+π/6)=1/√2
(2)より、x+π/6=π/4,3π/4
よって、x=π/12,7π/12 これらは(1)を満たす。
t=0から、
2sin(x+π/6)=0
sin(x+π/6)=0
(2)より、x+π/6=π
よって、x=5π/6 これは(1)を満たす。
以上より、0<x<πの範囲で方程式f(x)=0は任意の実数kに対して
x=π/12,5π/6 または x=7π/12,5π/6を解にもつ
でどうでしょうか?
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