【コマ大】幾つかの設問について

幾つかの設問について、正しいとされる解を導き出せませんでした。

そこで皆様にご教示を頂きたく参りました。
長文になりますがどうぞ宜しくお願い致します。

まずはこれから
凹面鏡での光の反射の問題です
添付映像のような半円等の凹面鏡があるとします
円筒円周面端部から断面内円筒面に向け光を放つ時
凹面鏡円筒を半円筒に切る断面を光が貫く点と中心線との距離が最も近い時
その距離はいくらか？

添付映像で言う所では
点Ａから放たれた光がＢとＣで反射して
半円等断面と交差する点Ｄを通る時
最小のＰＤ間の距離はいくらか？
という問題ですが

この答えについて、
コマ大での正式回答にたどり着けませんでした

私は歪みのない円にある性質から
円周上の点は必ず一義の正接線上にあり
その円の中心からの垂線とその正接線とは直交する

又、点Ａから発射され
円周上の任意の点Ｂを通り内側に反射される光の軌跡が
更にもう一度同一円周上の点Ｃに辿り着く時
その円周の中心をＰとすると
∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢとなると共に
△ＯＡＢと△ＯＢＣは合同になる
となると思い

東大生と同じ回答に辿り着きました

しかし番組内ではもっと最小の距離が存在すると告げてました
解説をお願いします。


もう1問
出題はこんな感じでした

４人の被験者がいる

被験者にはその額に
赤か緑かの文字が記される
(※：本人からは如何なる感覚でも
検証開始まで感覚では感じ得てない)

自ら以外の被験者の額と
そこの文字は全て見える

被験者は他の被験者の
額の文字を見て
緑が２つ以上見えれば
手を挙げる

被験者は自らの額の文字がわられば申告する

検証開始後
とある一人の被験者Ａからは
緑か３つ見えた

結局全員が手を挙げた


しかし
暫くは誰も申告しなかった

Ａの額の文字はどちらか？


少し違いますが
大筋でこんな問題でした

で、問題がトンチでなく
数学と言うことから

新たな仮定として
・ズルは誰もしない
・解るべき条件さえ揃えば
どの被験者もそれに直ちに気づき
答えに直ちにたどり着く

と、します


問題の状況を整理すると
緑が１つしか書かれていない場合
誰も手を挙げない

２つしか書かれていない場合
自らの額は見えないので
自らの額に緑と書かれた二人は手を挙げず
他の２人は手を挙げる
結果二人のみ手を挙げる

３つだけ書かれている場合
全ての被験者から２つ以上の緑が見え
全員が手を挙げる

全ての額に緑が書かれ
４つある場合
全ての被験者から２つ以上の緑が見え
全員が手を挙げる


問題では
全員が手を挙げたので
緑が２つ以下の場合は無いと解る

なので残る場合は３つ
ないし４つしかないと解る


問題では
Ａから既に３つの緑が見えているので
Ａ以外は全て緑

緑が３つしかない場合は
Ａは赤しかあり得ない

全員が緑の時は
当然誰しも緑である
Ａも緑である

ここで検証開始直後
全員が手を挙げている状態から
目の前の３人の全ての被験者は
緑が３つ以上必要な状況であると、
既に気付いているものとする

目の前の何れかの被験者に
赤が１つ見えた場合
その赤以外は全て緑であるのだから
その被験者は直ちに自らが緑と解り申告する

申告が手を挙げたと同時に
誰からも深刻されなかった状況から
誰の目にも赤が見えなかったと理解し得る

つまり
たちまちの内に全ての被験者に
その額の文字全てが緑であるしかない
と、言う状況が揃う

しかしなお
誰も申告しないことが
問題より解る

結果そういう可能性はないので
この問題は解なしとなる
と思ったのですが

これって駄目ですか？

ご教示をお願いします。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　m(_ _)mペコリ

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/27 23:52

二問目は、ちょっと問題のある問題です。

全員が手を挙げて、かつ、誰も申告をしなければ、
自分が赤ではないと判るのですが…
では、誰も申告しないことを、いったい
いつの時点で知ることができるのでしょう？
自分は緑だと申告すべきか、そうでないかは、
他の三人が申告しないか、するかによります。
他人の動きが判るまで、自分の動きは決められません。
誰が最初に、自分が緑だと確信し、申告するか…
これは、気の短さや、不確定要因を無視する
不合理な判断によって決まることで、
合理的判断の仮定だけからは導けません。
そして、最初の一人が申告をしてしまえば、
後の三人は、自分の色を判断する材料を失います。
A がその最初の一人になるか否かは、
問題の条件からは知り得ないと思います。

この回答への補足

済みません、お伝えすべき情報に
漏れがありました。

確認したことろ、
申告は、口にだして　
はっきりと行うそうです。

お詫びします。

補足日時：2012/04/01 05:57

この回答へのお礼

確かにそうですよね、有り難うございます。

お礼日時：2012/03/28 22:31

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/01 05:17

「割線」は、円の割線ではなく、三角形の割線

という意図です。その点については、これ以上
説明しません。余計に脱線するだけですから。

さて、本論の、PD が最短のとき ∠PDC が
直角でない理由ですが、既に
PD の最小値を与える θ を求めることによって
示してあります。読み返しましょう。

補足質問に対する回答は、貴方が直角だと
思ってしまう理由を勝手に想像して、
その間違いを指摘したものです。
余計だったら、そっちは無視してください。

この回答へのお礼

何故かお気を害してしまったようで、残念です。

お詫び申します。

また何か、困った事が持ち上がった際には、
お助け頂ければ幸いです。
どうぞ宜しく　お願い致します。

お礼日時：2012/04/01 05:35

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/31 17:20

補足質問については、直角のときでよいです。

しかし、そのことと、最初の質問とは、直接
関係がありません。

補足質問の設定では、二等辺三角形が同じ形のまま、
割線との位置関係だけが変わります。
その場合の割線の長さは、底辺と直交するとき
最短になります。

一方、最初の問題では、∠PDC が変わるのと
連動して、二等辺三角形の底角 ∠PCD も
変化しているのです。

二等辺三角形が合同か？と確認していましたね。
△PAB ≡ △PBC ≡ △PCE は、∠PDC が変わっても
常に成り立つけれど、その合同を保ったまま、
△PCE の形は、∠PDC と共に変化します。
だから、異なる ∠PAB の値に対応するふたつの
△PCE 同士は、合同ではありません。
そのため、補足質問の状況は、最初の問題への
参考にはならないのです。

この回答への補足

コトバンクによると
(http://kotobank.jp/word/割線)
割線とは円と二点で交わる直線。
また、曲線と二点以上で交わる直線。
と、云うことらしいですが

前回の補足質問に対する回答としては
つまりこうですか？

如何なる場合においても
例外なく
「その割線が割線たる由縁とする　２点で交わる円、
その中心と、その割線との最短距離は、
割線に対し垂直に交わり
且つ割線を二等分する線上にのみ存在する」

また、
２等辺三角形ＡＢＣがあり
辺ＡＢの長さ＝辺ＡＣの長さの時、

点Ｂと点Ｃは点Ａを中心とする
真円上に　常に存在する

故に辺ＢＣは円と２点で交わる線、
つまり割線だと云える。

辺ＢＣの中点をＯとする時

上記より
点Ａと辺ＢＣとの最短距離は
ユーグリット幾何学の世界においては常に
如何なる場合においても例外なく
「"絶対に　絶対に"」！！
線分ＡＯ上に存在し
その線分ＡＯと点ＢＣとは
絶対に直交する

と、云うことですよね？
例外無しですよね？

ところで、今回の質問に立ち返ると
辺ＡＣの長さ＝辺ＡＥの長さ＝半径なので
辺ＣＥは割線ですよね？

割線と　その円の中心との最短距離、
この最短距離の軌跡を示す線と、辺ＣＥとの交点Ｄは
常に辺ＣＥを２等分するのですよね？

で、最短距離を示す軌跡である辺ＡＤと
辺ＣＥとは　常に直交するのですよね？


問題文より距離を最短にすべき点は
点ＡとＰを結んだ延長線上の点Ｄにあり

又、上記より
線分ＡＤ⊥辺ＣＥ
辺ＣＤの長さ＝辺ＤＥの長さということが解ります
よね？

で、この関係性は
ユーグリット幾何学上において
「絶対普遍で揺るぎようがない」
と、いうことですよね？


ご回答の前半部分は　こういうことを
ご解説頂いているのだと　思うのですが、

だとすると、後半部分が
なんか「もやっ」と　してしまいます。

恐らく
私の頭が、理解力不足なせいなのだと　思うので、
今少し、解りやすい解説を　お願いしても良いですか？

割線と円の中心との最短距離が
その割線に対し直交しない線上に　存在する可能性が
ユーグリット幾何学上において　起こりうるのですか？


＞図形的考察から、∠PDC = 2π-5θ です。
と、ありますが、これは「直角ではない」とのこと

特にこのあたりの詳しい解説も
何故、これが最短になるのかの　証明を含めて

上記「もやっ」とするポイントと併せて
今一度　ご解説頂ければ幸いです。

お手数でしょうが
宜しくご教示を　お願い致します。

補足日時：2012/04/01 01:57

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/30 15:40

∠PDC = 2π-5θ と書きましたが、読みませんでしたか？

PD が最小となるときは、(sinθ)2乗 = 5/8 なのだから、
∠PDC = π/2 にはなりませんよ。

近似計算をしてみると、だいたい 98 度くらいでした。

この回答への補足

ちょっと話が
横道にそれるかも知れませんが、
ご容赦くださいね。

私しってば
勘違いしているかも　知れないので
確認させてください。


任意の２等辺三角形ＡＢＣにおいて、
底辺が辺ＢＣ
辺ＡＢの長さ＝辺ＡＣの長さ
だとする。

点Ａから辺ＢＣに対し線を引く
この点Ａから辺ＢＣに延びた線と
辺ＢＣの交点を
点Ｐとする時

この線
線ＡＰが最短になるのは
∠ＡＰＢ（∠ＡＰＣも同様）が
直角になる時だと　思うのですが、
間違いですか？

補足日時：2012/03/30 22:44

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/29 00:50

鏡面なのでしょう？

数学の話題ではありませんが、初等物理の
常識から、∠PCB = ∠PCD と仮定された問題だと
解釈はしてよいのではないでしょうか。

点 E については、D を通過した光線が
半円柱から出ていってしまうため、
そのような点は存在しない…と思います。

この回答への補足

そうですね、仰る通りですね。
仮定を増やさないと
話しが合わなくなりますよね
失礼しました。

では、仮にこの鏡面のつつが
半円でないとしてください
真円性は保たれたまま
つまり真円のまま　ということです。

少し強引かも知れませんが
ご容赦くださいね

そうすると点Eが存在しても
違和感がないと思います。

この時では、如何ですか？
合同でしょうか？

あともう一点、
角ABPと角APBは何度になりますか？

ご回答をお待ちしています。

補足日時：2012/03/29 02:57

この回答へのお礼

私をもやもやさせる　最たる元凶について、
触れ損ねてました。

角PDCは直角だ
と、思っていいですか？

お礼日時：2012/03/29 03:33

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/28 01:16

一問目は、番組の解も貴方の解も知らないので、

どちらが正しいとは言えませんが…
θ = ∠PAB と置くと、質問文中のような
図形的考察から、∠PDC = 2π-5θ です。
△PDC の正弦定理より、PD/sin∠PCD = PC/sin∠PDC.
よって、PC/PD = sin(2π-5θ)/sinθ = …
= -16(sinθ)4乗 +20(sinθ)2乗 -5 となります。
A→B→C→D と二回反射して半円の弦に戻る
条件は、π/4 ＜ θ ＜ π/3 ですから、
1/√2 ＜ sinθ ＜ (√3)/2 より
1/2 ＜ (sinθ)2乗 ＜ 3/4 です。
x = (sinθ)2乗 と置いて、PC/PD = -16xx+20x-5
= -16(x - 5/8)2乗 + 5/4 ≦ 5/4.
以上より、PD ≧ (4/5)PC と解ります。
間違い易いのは、θ の変域でしょうか？

この回答への補足

済みません質問させてください
∠PCBと∠PCDは等しいと思って良いのですか？

後この光線がもう一度鏡面に反射する点を
点Eだとすると
△PCBと△PCEは合同になりますか？

補足日時：2012/03/28 22:29

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2012/03/27 22:34

PとOの関係はどうなっているのですか。

この回答への補足

ｏがどこにあるのか、私には解りません

半円筒の中心はこの図ではどこ？
という質問でしたら
それは「Ｐ」です

補足日時：2012/03/28 22:36

この回答へのお礼

失礼しました。

確かに点Oは
質問文中にはあり、
図中には書いてないですね
お詫びの上訂正します。

質問文中の「O」という表記は間違いです。
適切な範囲で「P」と読みかえてさい。

お礼日時：2012/03/29 03:12

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/03/27 18:22

全く関連のない問題を二つ質問する場合は、分けて質問してください。

後者の質問についてお答えします。

この問題で問題となるのは、手を挙げる行為は他の人からも視認できるのですが、申告の有無が他の人から判別できるのか、ということです。
申告は他の人から見えない手元ボタンで行う、ということになっているとすると問題として成立します。

その場合はAが赤だと残り全員は自分が緑とすぐ分かるため申告できますが、Aが緑だと自分の色は判別できなくなります。

この回答への補足

＞…二つ質問する場合は、分け…

申し訳ない
以後気をつけます。

申告が誰に解って誰に解らないか
と、いう点が曖昧で
問題の意味が変る

若しくは
回答者がどの立場の情報を得られているか
被験者の範囲の情報なのか
検証者の範囲の情報なのか
それともこの両者の認識が同じなのか

そこが明確でない
ということですね、


有り難うございます。
すっきりしました。

補足日時：2012/03/28 22:42

この回答へのお礼

済みません、
お伝えすべき内容に漏れがありました、

確認したところ、申告は口に出して
声ではっきりと　行うようです。
お詫びします。

お礼日時：2012/04/01 06:07