摩擦力と運動方程式の立て方について教えてください

Question

高校物理の基礎的な問題で

A　□→F
---------

「質量mの物体AをFの力で右に引っ張り、床と物体mの動摩擦係数をμ、重力加速度gとした時の加速度aを求めよ」

という問題で、私は運動方程式F=maより

F=ma-μmgとし

a=(F+μmg)/mとしました。

しかし、回答はF-μmg=maからのa=(F-μmg)/mとなっており

分子のプラスとマイナスの符号が逆でした。

私が最初に思ったF=ma-μmaの式はなぜ間違いになるのでしょうか？

わかりやすく教えていただけますでしょうか？
よろしくお願いいたします。

ryumu · Accepted Answer

重要な点を誤解されているかと思います。

F=maを、”「力」は「質量x加速度」と等しい”と数式上は解釈できますが、実は意味が違います。
この解釈では、重大な矛盾が生じてしまうのですよ。
というのも、Fとaの”向き”は、（F,a>0とすると）一致します。
でも、よく考えて下さい。

ma = F + K - Z　　(1)

という方程式があったとすると（a, F, K, Z > 0とすると）、
まず、aとFは、先ほどと同様、”同じ向き”（<= 良く覚えておいて下さい）です。
さて、右辺に注目すると、FとKは、”同じ向き”、Zは、F（とKとも）”逆向き”を意味しますよね？

さて、式(1)を書き直すと、

0 = F + K - Z - ma

となりますが、maの符号が（当然ながら）”負”になり、これだと、
Fとaは、”逆向き”ということになります。
これは、最初のaとFが”同じ向き”としたことと完全に矛盾していますよね。

これは、数式上の意味と、物理的意味が異なる事を意味しており、私が物理を教わった頃は、運動方程式のこの"="を、「何故無しイコール」と教えられました。
つまり、上述のような数式上の意味の”矛盾”が生じるにも関わらず、この運動方程式により、自然が明確に説明出来るからです。

自然は、運動方程式を満たすように動いている。しかし、その理由は分からない（神のみぞ知る）。

アインシュタインにより、若干の修正はされましたが、約300年前にニュートンが発見したこの運動方程式により、自然の多くが説明出来ることにはやはり驚きです。

さて、運動方程式はそもそもこのように矛盾があるので、物理的な意味をちゃんと理解しなければなりません。
上記（１）を物理的に解釈すると、

「質量mの物体に、力F, K, Zが作用することで、結果的に加速度aを生じる」

ということになります。
運動方程式を立式するときは、必ず（１）式のように、

　「（質量）x（”結果的に生じる”加速度）」を左辺に、「力の総和」を右辺に書く

と言うことを、徹底して下さい（別に左辺と右辺を逆にしても数学的には同じなのですが、物理的意味があいまいにならないようにするため）。
この際、符号を間違うと、モロに上記の矛盾に引っかかりますので、運動の向き（つまり座標設定）が特に重要になります（教育の現場でもっと強調すべき点なのですがね）。

さて、この考え方で、質問者様の問題を解くと、”右向きを正にして”（<=向きの設定）、

　「（質量）x（”結果的に生じる”加速度）」=「力の総和」

=> ma = F - μmg

となります。maは、数式上”力”と一致しますが、それ自体は”力”では無い...というのが物理的意味なのです。

el156 · Answer

No.2の者です。
ご理解頂けたかどうか心配になりましたので、補足する説明を考えてみました。
物体mの初速を考えて場合分けしてみると理解が深まるのではないかと思います。この問題では動摩擦係数だけで静止摩擦力は記載されていませんから、初速を仮定するのは妥当なのではないかと思います。
物体mの初速がFが引っ張る向きと同じ場合と、その反対向きの場合の2種類を考えます。角度が付いている場合も考えられますが面倒なのでここではやめておきます。物体mの初速がFが引っ張る向きと同じ場合の中で、さらに物体mが加速する場合、初速のまま変わらない場合と、減速する場合とに分類します。物体mの初速がFが引っ張る向きと反対向きの場合は、物体mは減速するしかありません。この範囲では場合分けは4種類です。整理すると次のようになります。

1) 初速はFと同じ向きで物体mは加速　→　F>μmg
2) 初速はFと同じ向きで物体mは定速　→　F=μmg
3) 初速はFと同じ向きで物体mは減速　→　F<μmg
4) 初速はFと逆の向きで物体mは減速

1)～3)の区別はFの大きさに依ります。強い力で引っ張れば加速しますし、力が弱ければ減速します。ちょうどμmgの力で引っ張れば初速のまま定速で動き続けます。加速か、定速か、減速かによって加速度aの符号が変わります。maは慣性力ですからaの符号に合わせて初速を維持しようとする向きに働きます。加速する場合は加速を抑える向きですからFと逆向き、減速する場合は速度を維持ずる向きですからFと同じ向きです。μmgは動摩擦力ですから向きは物体mの速度の向きの反対で、1)～3)では物体mの速度の向きはFと同じ向きですから、μmgの向きはFの向きと逆です。aの符号が慣性力の向きを調整してくれるので、F=ma+μmgの式は1)～3)で共通で済みます。Fとma+μmgとが釣り合うという式だと考えて良いと思います。F-ma-μmg=0と考えても良いです。

4)の場合は式が変わります。減速するのでaは負ですが、この場合初速がFとは逆向きなので慣性力が速度を維持しようとずる力の向きはFの向きとは逆で、aが負なのに向きは1)と同じということになります。1)～3)とはmの速度の向きが逆なので動摩擦力μmgも1)～3)とは逆向きですから、Fと釣り合うのは-ma-μmgです。従いまして4)の場合の式はF=-ma-μmg、或はF+ma+μmg=0です。力の釣り合いを考えるならF+μmg=-maがわかりやすいかも知れません。Fとμmgはmの動きを止めようとします。aが負ですから-maは止めまいとする力になります。
減速して停止した後はFが静止摩擦力よりも大きければ物体mの移動の向きが反転することになりますが、静止摩擦力も提示されていないことですし、ここまでとしたいと思います。

ryumu · Answer

コメント読みました。

> じゃあma自体は何なのでしょうか？

その疑問はごもっともで、それが先の解答で書いた「何故無しイコール」の由来です。
つまり、”なぜだか分からないが、力の総和が（質量）x（加速度）と一致する”ということなんです。
この式で自然が極めて良く説明出来る、というだけのことなのです。

ですから、もしこの式で説明出来ない現象が現れたら、この式が間違いだということになってしまいます。
事実、光速に近い運動では、この式は正しくないことが約100年前にアインシュタインにより示され、修正されました。
その修正された式も、もしかすると今後、さらに修正あるいは否定されることもありえます。
物理に限らず、私たちが現在学んでいることの中には、今後修正・否定される可能性があるものがたくさんあります。

> 私が間違えたF=ma-μmgで、ma-μmgは引く力であるFと一致しないんですか？

先にも書きましたが、向きをよく考えて下さい（何度も言いますが、方向の設定は、物理ではものすごく大事です）。
μmgは、Fに抵抗する方向に働くので、互いに逆向きになります。
しかし、この式だと、同じ向きという意味になってしまいます。

F=ma-μmg  <=> F+μmg=ma (Fとμmgの符号が同じ＝同じ向き）

この間違いを起こしてしまうのは、maを力と考えてしまうからなんです。
数式上は、どうしても力と考えたくなりますが、運動方程式に含まれる意味上の矛盾（maとFは同じ向きなのに、移項すると符号が互いに逆）がある以上、力と考えてはいけないのです。

hitokotonusi · Answer

まずは，運動方程式というものを理解しましょう。
運動方程式というのはこういう形です。

物体にかかっている全ての力の合計　＝　質量×加速度

なので，片方はかならず「質量×加速度」で，それ以外にはなりません。
これをまず，きちんと頭の中に入れてください。

次に，

＞私は運動方程式F=maより

にでてきているＦは「物体にかかっている全ての力の合計」の意味です。
これも頭に入れてください。

ところが，質問されている

＞「質量mの物体AをFの力で右に引っ張り、床と物体mの動摩擦係数をμ、重力加速度gとした時の加速度aを求めよ」

という問題では，おなじFの記号が別の意味に使われています。これが混乱のもとになっているのでしょう。

この問題文では，Fは力の合計ではなく物体に働いている一つの力で，
物体AにはFとその逆向きの摩擦力μmgという二つの力が働いているため，

＞私は運動方程式F=maより

の左辺のＦ(力の合計)の場所には，この問題のFとμmgの差(逆向きなので)が入ることになり，

F - μmg = ma

という運動方程式になります。

もう一度書きますが，運動方程式とは，

物体にかかっている全ての力の合計　＝　質量×加速度

であることを，きちんと理解してください。

heboiboro · Answer

> 私は運動方程式F=maより
> F=ma-μmgとし
何故このような式を立てたのでしょうか？
運動方程式の各項の意味を誤解しているのではないでしょうか。

運動方程式は、記号を使わずに書けば (外力)=(質量)*(加速度) となります。

いまの問題で物体にかかっている外力はなんですか？
引っ張る力Fと、摩擦力μmgの合力ですね。
これらは符号が反対ですから、結局外力は F-μmg です
ですからこれが運動方程式の左辺になります。

質量は m, 加速度は a ですね。
ですから結局、 F-μmg = ma が運動方程式となります（もちろん左辺と右辺は反対でも構いません）

rnakamra · Answer

運動方程式に出てくる"F"とは、その物体にかかっている力の総和になります。
今回の問題で運動方程式を立てると

(物体Aにかかる重力)+(物体Aにかかる垂直抗力)+(物体Aを引っ張る力F)+(物体Aに働く摩擦力)=ma

となります。(ただし、すべての力、加速度aはベクトルです。)

運動方程式にある"F"と引っ張る力"F"は同一のものではありません。同じ記号を使っているため勘違いしないようご注意ください。

el156 · Answer

定速で引っ張る場合であっても力は必要ですから、aがゼロの時Fの符号は正でなくてはなりません。物体を定速で動かす為には、Fに動摩擦力と同じ力を与える必要があるということです。

gohtraw · Answer

加えた力Fと摩擦力μｍｇは方向が逆向きになるので、符号を逆にする必要があります。つまり
F-μｍｇ
という具合に。

摩擦力と運動方程式の立て方について教えてください

重要な点を誤解されているかと思います。

No.2の者です。

コメント読みました。

まずは，運動方程式というものを理解しましょう。

> 私は運動方程式F=maより

運動方程式に出てくる"F"とは、その物体にかかっている力の総和になります。

定速で引っ張る場合であっても力は必要ですから、aがゼロの時Fの符号は正でなくてはなりません。

加えた力Fと摩擦力μｍｇは方向が逆向きになるので、符号を逆にする必要があります。

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