自作、次の条件のとき四角形は平行四辺形となりますか

平行四辺形ABCDがあり、対角線の交点をOとします。このとき、次の性質があります。
[1]AB//CD
[2]AD//BC
[3]AB＝CD
[4]AD＝BC
[5]∠A＝∠C
[6]∠B＝∠D
[7]AO＝CO
[8]BO＝DO
[9]∠OAB＝∠OCD
[10]∠OAD＝∠OCB
[11]∠OBA＝∠ODC
[12]∠OBC＝∠ODA

ひまつぶしに、[1]から[12]まで条件からの2つを組み合わせたものは、四角形ABCDが平行四辺形であると同値かどうか考えてみました。

[1][4]、[1][9]、[1][11]、[2][3]、[2][10]、[2][12]、[3][5]、[3][6]、[3][7]、[3][8]、[3][10]、[3][12]、[4][5]、[4][6]、[4][7]、[4][8]、[4][9]、[4][11]、[5][7]、[6][8]、[10][12]
は平行四辺形と同値でなく、それ以外は同値という結論になりました。しかし、自信がないので、以下の3つだけでいいので、確かめていただけないでしょうか。
言葉で説明するのは難しいと思いますが、よければ根拠のあるご回答をいただけると幸いです。


四角形ABCDで、[3]AB＝CD、[5]∠A＝∠Cのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。

四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A＝∠C、[7]AO＝COのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。

四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A＝∠C、[8]BO＝DOのとき、四角形は平行四辺形となる。

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/04/22 04:13

四角形ABCDが平行四辺形である条件は５通り（６つ）です。

（１）ＡＢ//ＣＤ，ＡＤ//ＢＣ　より、［１］［２］
（２）ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ　より、［３］［４］
（３）∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ　より、［５］［６］
（４）ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ　より、［７］［８］
（５）ＡＢ//ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ　より、［１］［３］
　　　ＡＤ//ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ　より、［２］［４］
（１）は平行四辺形の定義、後は平行線の性質や三角形の合同条件から証明できます。

＞[9]∠OAB＝∠OCDから、錯角が等しいから、ＡＢ//ＣＤで、[1]と同じ
＞[10]∠OAD＝∠OCBから、同じくＡＤ//ＢＣで、[2]と同じ
＞[11]∠OBA＝∠ODCから、同じくＡＢ//ＣＤで、[1]と同じ
＞[12]∠OBC＝∠ODAから、同じくＡＤ//ＢＣで、[2]と同じ
だから、
（１）と同じなのは、
［９］［２］，［１１］［２］，［１］「１０」，［１］［１２］，［９］［１０］，
［９］［１２］，［１１］［１０］，［１１］［１２］
（５）と同じなのは、
［９］［３］，［１１］［３］，［１０］［４］，［１２］［４］
だと思います。

＞下の3つだけでいいので、確かめていただけないでしょうか。
＞四角形ABCDで、[3]AB＝CD、[5]∠A＝∠Cのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。
＞四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A＝∠C、[7]AO＝COのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。
＞四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A＝∠C、[8]BO＝DOのとき、四角形は平行四辺形となる。
（１）～（５）に当てはまらないので、３つとも平行四辺形にならないと思います。

どうでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/04/22 00:35

三角形の合同条件, 凧, 円周角