No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> 左辺が微分可能なので、右辺も微分可能
というだけならもちろん結構ですけど、ただそれだけの話であって、f(r)について何か言えた事にはなっていない、というのがANo.1のご指摘だと思いますが、多分誤解されるだろうなと思うんで、勝手に補足説明を付けます。
もし「f(x)がx=0で微分可能で、かつf(0)=f(r)+f(-r)をすべての実数rが満たすならば、f(r)は全ての実数で微分可能」だとお考えなら×。
例えば、
f(0)=0, f(x)=-f(-x)
ならば、f(x)がどんなにギザギザガタガタであっても、x=0の周囲だけ滑らかなら、確かに「f(x)がx=0で微分可能で、かつf(0)=f(r)+f(-r)をすべての実数rが満たす」。
つまり、f(0)=f(r)+f(-r)だけじゃ
f(x+y)=f(x)+f(y)
という性質(線形性)が活かされていないんですよ。yに0を代入してみなきゃね。
この回答への補足
0は代入してませんが、f(x+x)=2f(x)というのをくりかえしていけば、f(nx)=nf(x) (nは整数) となることから、f(x)=kxつまり線形性の話になって、すべての実数において微分できることは明らかである。といけるかなとおもったのですが、、、
これは、f(nx)=nf(x)になることを説明したら、そこからすぐによってf(x)はf(0)=0の一次関数であると結論付けていいのでしょうか?
以前にも似たような質問させていただいたことがあるのですが、条件を満たす関数がこれしかないって話が苦手で。。。 まったく見当違いでしたらごめんなさい。
回答ありがとうございました。
なるほど 確かにこれだけじゃ説明として足りてないことはわかりました。
yにゼロを代入するのは少しだけ考えたんですけど、f(x)=f(x)+f(0) f(0)=0という結論以外でてこなさそうだったので、考えるのをやめてしまいました。改めて考えたんですが、これをどうするのかがわかりません。
No.5
- 回答日時:
#4 <
ANo.2 で
>> yに0を代入してみなきゃね。
一度は「yにΔxを代入してみなきゃね」と書いたけど、これじゃ易しくなりすぎだなと、わざわざ0に直したんですってばぁー ~ ;-)
No.4
- 回答日時:
#たぶん,No.1さん,No.2さん分かってていわないんだろうけど(^^;
なんで微分係数の定義にそのままあてはめるってことをしないの?
数行で証明終わるはず.
No.3
- 回答日時:
補足ありがとうございます>#2.
つまり, 確かに「f, g が微分可能ならそれらの和 f+g も微分可能」なんだけど, 逆に「f+g が微分可能なときに f や g が微分可能」であることは保証されないんです. たとえば
f(x) =
-1 if x < -1,
x if |x| ≦ 1,
+1 if x > 1
という関数を考えてみればいい. これは「f(x) が x=0 で微分可能」かつ「任意の r について f(0) = f(r) + f(-r)」を満たすけど x = ±1 で微分できないでしょ?
回答ありがとうございました。
質問中の文だけじゃ足りないのはわかりました。 ただこのあといまいちどうすればいいのかがわからないんですが、、、
解答がないので、みるわけにもいかず。。。簡単なヒントでもいいので教えてくだされば幸いです。
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