ナブラ　ラプラシアン　勾配　発散　回転

Question

勾配、発散、回転についてわからない点があるので
質問させて頂きます。

前回の質問で、
∇=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）=ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z
であることは理解できました。
また、Δに関しても、
Δ=∇・∇=（∂/∂x）^2+（∂/∂y）^2+（∂/∂z）^2
となることも理解できました。

ex,ey,ezは基底ベクトルを表します。

ここで、
勾配（grad）は、
スカラー関数をfとすると
gradf=∇f=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）f=（ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z）f
となることは理解できます。

発散（div）は、
ベクトル関数をg=（gx，gy，gz）とすると、
divg=∇・g=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）・（gx，gy，gz）
より計算され、
divg=∂/∂x（gx）+∂/∂y（gy）+∂/∂z（gz）
となります。
ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zを使って表す場合は
どのようにすればよいのでしょうか？

回転（rot）も同様に、
ベクトル関数をg=（gx，gy，gz）とすると、
rotg=∇×g=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）×（gx，gy，gz）
より計算され、
rotg=（∂/∂y（gz）-∂/∂z（gy）,∂/∂z（gx）-∂/∂x（gz）,∂/∂x（gy）-∂/∂y（gx））
となります。
ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zを使って表す場合は
どのようにすればよいのでしょうか？
また、行列式を使って添付画像のように表されますが
なぜそのように表されるのか理解できません・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。

alice_44 · Accepted Answer

A No.2 です。
内積計算において (exax+eyay+ezaz)・(exbx+eyby+ezbz) の処理方法が
解らないのであれば、貴方は、ベクトル解析をやるには、ベクトル側の
準備が不足し過ぎです。まず、線型代数の教科書の最初のほうを読むか、
手軽な方法としては、高校数学IIBの学参に目を通しましょう。

ベクトルが何だかよく解っていなくて、成分表示のほうが見やすい
と感じてしまうのであれば、敢えて基底を持ち出さなくても、
∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) と
g = (gx,gy,gz) の各成分を無理矢理スカラーとみなして、
(∂/∂x なんかはスカラーではないけれど、画数の多い文字とでも思って
ひとつの変数と同様に扱い) 形式的に内積や外積の式変形をしてみれば、
div g = ∇・g と
rot g = ∇×g が何を喩えて言っているのか、
見えてくると思うんだけどな。

info22_ · Answer

#1,#3です。

A#3の補足について

>(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(exgx+eygy+ezgz)
=∂gx/∂x+∂gy/∂y+∂gz/∂z
が計算できて、
>(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(gx,gy,gz)
が計算できないのはなぜでしょうか？

できないのではなく、１つの式で基底ベクトルを使ったベクトル表現とベクトルの成分要素表現をちゃんぽんにした計算式を書く式表現は、通常書くことはしないということです。

>g = ex(gx)+ey(gy)+ez(gz) (gx,gy,gz はスカラー)
と表した理由はなんでしょうか？

素直に理解して下さい。ex,ey,ezは有向ベクトル（方向と大きさをもった量）、これに対してベクトルの成分要素gx,gy,gzは方向を持たない実数の量つまりスカラー量であるということです。

基底ベクトル同士にしなければ計算できないと
いうことでしょうか？
理由も教えて頂ければ幸いです。

以上、お手数をお掛けして本当に申し訳ありませんが
ご回答よろしくお願い致します。

info22_ · Answer

>A×Bの行列式表現についてですが、
>これは定義なのでしょうか？

定義は一通りとは限りりません。
定義の１つ、または別表現と考えても差支えないでしょう。

>(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(exgx+eygy+ezgz)
>を見たことがありません。。。これは内積計算可能なのでしょうか？

内積計算可能です。ただし、微分が含まれるので内積の順序は入れ替えはできません。
見たことがないのは単に質問者さんの勉強不足でしょう。

(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(exgx+eygy+ezgz)
=∂gx/∂x+∂gy/∂y+∂gz/∂z

>(ax,ay,az）・（bx,by,bz）のようにベクトル同士ですよね？
>eは基底ベクトルだから、通常の内積計算同様に計算できるという
>認識でOKでしょうか？

OKです。

>内積のように扱っているだけだから特に厳密ではないのでしょうか？

内積の定義そのものを使っているので厳密です。

>を見たことがありません。。。こちらも外積計算可能なのでしょうか？

単に質問者さんの勉強不足に過ぎません。

>通常であれば、
>（ax,ay,az）×（bx,by,bz）のようにベクトル同士ですよね？
>eは基底ベクトルだから、通常の外積計算同様に計算できるという
>認識でOKでしょうか？

その通りOKです。

>外積のように扱っているだけだから厳密でなくても良いのでしょうか？

微分が入っても外積の定義と微分の順序に注意すれば、厳密です。

alice_44 · Answer

前回質問に回答した者です。回答の主旨が
御理解いただけてないよういで、残念です。

∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) = ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z にせよ、
Δ = ∇・∇ = (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 にせよ、
その等号が成り立つ、成立が示せるということではなく、
∇ や Δ を覚えやすくするために、単に語呂合わせとして
そのように書こうよ という提案に過ぎないのです。
殊に ∇ そのものをベクトルであるかのように扱う書きかたは、
div g = ∇・g
rot g = ∇×g
などの標語的表現を派生することができて、益々暗記に役立ちます。

これらの右辺を ∇ = ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z を通じて理解するには、 
g のほうも g = ex(gx)+ey(gy)+ez(gz) (gx,gy,gz はスカラー)
などと書いて、内積・外積の計算を形式的に行い、
∇・g = (ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(exgx+eygy+ezgz)
∇×g = (ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)×(exgx+eygy+ezgz)
を展開すると、
∇・g = (∂/∂x)gx+(∂/∂y)gy+(∂/∂z)gz 
∇×g = ex{(∂/∂y)gz-(∂/∂z)gy}+ey{(∂/∂z)gx-(∂/∂x)gz}+ez{(∂/∂x)gy-(∂/∂y)gx}
となって、div g, rot g に一致することを示せばよいのです。
普通のベクトルの内積・外積の計算を知っていれば、できますね？

忘れてならないのは、∇ がベクトルだからそのような計算ができるのではなく、
∇ をまるでベクトルのように扱ってしまえばそう計算できたように見える
だけだという点です。

info22_ · Answer

>divg=∂/∂x（gx）+∂/∂y（gy）+∂/∂z（gz）
>となります。

>ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zを使って表す場合は
>どのようにすればよいのでしょうか？

スカラなので表せません。表せないものを表そうとするのは意味の無い愚問です。

>rotg=（∂/∂y（gz）-∂/∂z（gy）,∂/∂z（gx）-∂/∂x（gz）,∂/∂x（gy）-∂/∂y（gx））
>となります。

>ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zを使って表す場合は
>どのようにすればよいのでしょうか？

rotg=ex{∂/∂y（gz）-∂/∂z（gy)}+ey{∂/∂z（gx）-∂/∂x（gz)}
 +ez{∂/∂x（gy）-∂/∂y（gx)}

>また、行列式を使って添付画像のように表されますが
>なぜそのように表されるのか理解できません

行列式を展開すれば分かると思います。
図の行列式によるrot(g)の表現は
∇×g=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）×（gx，gy，gz）
の別表現に過ぎません。

ベクトルA,Bのべクトル積（クロス積ともいう）A×Bの行列式表現はどこにも載っていると思いますが教科書または参考書で確認して見てください。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/クロス積

ナブラ ラプラシアン 勾配 発散 回転

A No.2 です。

#1,#3です。

>A×Bの行列式表現についてですが、

この回答への補足

前回質問に回答した者です。

この回答への補足

>divg=∂/∂x（gx）+∂/∂y（gy）+∂/∂z（gz）

この回答への補足

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