sin^2θ-cos^2(θ/2)=0・・・・

sin^2θ-cos^2(θ/2)=0、0<θ≦π/2のとき、θ=□である。

よろしくお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/05/13 18:22

＞sin^2θ-cos^2(θ/2)=0、0<θ≦π/2のとき、θ=□である。

半角の公式より、
cos^2(θ/2)＝(1/2)（１＋cosθ）より、
（１－cos^2θ）－(1/2)（１＋cosθ）＝０
２－２cos^2θ－１－cosθ＝０
２cos^2θ＋cosθ－１＝０
（２cosθ－１）（cosθ＋１）＝０
0<θ≦π/2のとき，０≦cosθ＜１だから、cosθ＝－１は不適
よって、cosθ＝１／２
0<θ≦π/2のとき、θ＝π／３

No.1 回答者： noname#154025 回答日時： 2012/05/13 17:35

加法定理よりcos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ=cos^2θ-sin^2θ

三角関数の相互関係sin^2θ+cos^2θ=1よりsin^2θ=1-cos^2θ これをcos^2θ-sin^2θに代入して
cos(θ+θ)=cos^2θ-sin^2θ=cos^2θ-(1-cos^2θ)=2cos^2θ-1
整理するとcos(2θ)=2cos^2θ-1
1を移行してcos(2θ)+1=2cos^2θ
両辺を2で割って{cos(2θ)+1}/2=cos^2θ

ここで、θ=α/2とすると
(cosα+1)/2=cos^2(α/2)
つまりcos^2(α/2)=(cosα+1)/2 (半角の公式)
これをsin^2θ-cos^2(θ/2)=0に、半角の公式のαをθと考えて代入すると
sin^2θ-(cosθ+1)/2=0
三角関数の相互関係よりsin^2θ=1-cos^2θだから
1-cos^2θ-(cosθ+1)/2=0
両辺に2をかけて2-2cos^2θ-cosθ-1=0
整理して-2cos^2θ-cosθ+1=0
両辺に-をかけて2cos^2θ+cosθ-1=0
因数分解すると(2cosθ-1)(cosθ+1)=0
従ってcosθ=1/2,-1
θは第一象限だから-1はなしでcosθ=1/2
cosθが1/2となる第一象限の角は60゜だから
θ=60゜(または、ラジアン表記にするとθ=π/3)