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P1P2上に点Qをとります(P1Qの長さはP1P2の長さのs倍とします)。
sは0<=s<=1を満たします。次に、Qを通りP2P3に平行な直線を引き、P1P3との交点をRとします。すると、△P3P1P2とRP1Qは相似となります。よって線分QRの長さはP3P2の長さのs倍になります。
線分QR上の点をSとすると、↑P1S(ベクトルP1S)は新たな実数uを用いて
↑P1S=s↑P1P2+u↑QR (0<=u<=s)
=s(↑P1P2+u↑P2P3) (同上)
と表わされます。sおよびuが上記の範囲にあるとき、点Sは三角形P1P2P3の周および内部の点になります。点Sの位置ベクトルは
↑OS=↑OP1+s(↑P1P2+u↑P2P3)
=X1+s((X2-X1)+u(X3-X2))
=(1-s)X1+(s-u)X2+uX3
この式において
1-s=t1
s-u=t2
u=t3と置き換えると、
↑OS=t1X1+t2X2+t3X3
となり、sおよびuの値の範囲からt1、t2、t3≧0であり、
t1+t2+t3=1-s+s-u+u=1
であることが確認できます。
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