ベクトル場の湧き出し成分と回転成分

お世話になります。

任意のベクトル場 H は、
H = - grad φ + rot A
（φ：スカラーポテンシャル、A：ベクトルポテンシャル）
と表せると知りました。

イメージとしては、
第1項が湧き出し成分、
第2項が回転成分、
なのかなと感じました。

そこで質問なのですが、湧き出しと回転が両方あるような場では、
これら2つのポテンシャルは両方存在するものとして計算しても
大丈夫でしょうか。

例えば、棒磁石と電流が同時に存在するとき、

・磁界Hの湧き出し成分について、棒磁石によるスカラーポテンシャル
・磁界Hの回転成分について、電流によるベクトルポテンシャル

を考えて、それぞれの-grad, rot をとったものを単純に
足し合わせれば磁界Hになりますでしょうか。

よろしくお願い致します。

No.5 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2012/05/24 13:13

任意のベクトル場Ｈについて

H = - grad φ + rot A
を満たすようなφ,Aが存在する事そのものは数学的に保障されている事です。

しかし、そのようなφ,Aに物理的な意味を見出す事ができるかどうかとは別の話でして、
φ,Aという量を持ち出しても記述が単純にならないのであれば、このようなポテンシャルを導入して議論する事はないでしょう。

とにかく、
H = - grad φ + rot A
という形で書かれる具体例が知りたいという事であれば、良い例がすぐに思い浮かびませんが、

例えば電磁気学で磁気モノポールが存在する場合を想定すると、定常状態では
電場は、電荷が作るスカラーポテンシャルの勾配と磁荷の流れが作るベクトルポテンシャルの回転の和、
磁場は、磁荷が作るスカラーポテンシャルの勾配と電流が作るベクトルポテンシャルの回転の和
になると考えられています。

回答になってますでしょうか。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
知りたいことがわかりました。

お礼日時：2012/05/24 19:03

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2012/05/20 15:24

rotH = rotH2

divH = divH1
ではないのですか？H1,H2という文字を導入しただけで、何も違わないように見えるのですが。

この回答への補足

おっしゃるとおりでした。

先の補足で

> 少し違います。質問の趣旨は、
> ・・・
> ということです。

と書きましたが、申し訳ありません、書いていただいた命題が
私の知りたいことと同じことを表しているのかどうかが、
勉強不足で判断できずにいます。

知りたいことを改めて書かせてください。

今まで私が触れてきた問題では、電界ではスカラーポテンシャル、
磁界ではベクトルポテンシャルという具合に、どちらかのポテンシャル
しか出てきませんでした。

でもこの式に出会って、「もしかすると一般的に流体などの世界では
（流体はまだ勉強したことがありません）、両方のポテンシャルを
同時に扱うことがあって、電界や磁界はたまたま一方しか扱わない
例なのではないか」と思うに至りました。
もしそうなら、一般にはそれぞれのポテンシャルの-grad, divをとって、
それらの和をフラックスとしているのだろうか、というのが質問の
内容です。

まだ説明不足でしたら、遠慮なくおっしゃってください。

よろしくお願い致します。

補足日時：2012/05/21 16:29

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2012/05/20 02:42

要するに、ベクトル場Ｈについて、

rot rot A = rot H
-div gradφ = div H
を満たしているようなベクトル場Aとスカラー場φを見出したとすれば、
H = -gradφ+rot A
を(常に)満たしているのか、という趣旨の質問なのでしょうか。
そうだとすれば、答はNoです。

例えば、定ベクトル場H_0について、
H'=H+H_0
と定義すると、このベクトル場H'についてもrot rot A = rot H', div (-gradφ) = div H' の両方が成り立ちますが、H=-gradφ+rot AとH'=-gradφ+rot Aが両立する事はあり得ません。

ちなみに「湧き出し成分」は縦成分、「回転成分」は横成分と呼ぶ事が多いはずです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

> 要するに、ベクトル場Ｈについて、
> rot rot A = rot H
> -div gradφ = div H
> を満たしているようなベクトル場Aとスカラー場φを見出したとすれば、
> H = -gradφ+rot A
> を(常に)満たしているのか、という趣旨の質問なのでしょうか。

少し違います。質問の趣旨は、
--
ベクトル場Ｈについて、縦成分をH1, 横成分をH2とすると、
rot rot A = rot H2
-div gradφ = div H1
を満たしているようなベクトル場Aとスカラー場φを見出したとすれば、
H = H1 + H2 = -gradφ+rot A
を(常に)満たしているでしょうか？
--
ということです。

別の例で言うと、風の分布を求めるのに、
・気圧の高いところから低いところに向かう成分
・渦状に回転する成分
に分けて、それぞれのポテンシャルがわかれば
それらの-grad, divをとって最後に足せばよいかどうか、
という質問です。

なお、電磁波のようにHが時間変化するような場合には
適用できないことは認識していますので、定常状態に
限定していただいて結構です。

よろしくお願い致します。

補足日時：2012/05/20 08:03

この回答へのお礼

すみません、補足に書いた
> それらの-grad, divをとって最後に足せばよいかどうか、
は
> それらの-grad, rotをとって最後に足せばよいかどうか、
の間違いです。

お礼日時：2012/05/20 08:04

No.2 回答者： el156 回答日時： 2012/05/19 09:53

補足のご質問にお答えします。

棒磁石のN極とS極の先端は、磁界Hの湧き出しにはなりません。磁石の内部にもHは通っています。磁性体内部でBとHが比例しないのは、磁性体内部の磁気双極子の効果を透磁率に押し付けてμとするからです。マクスウエルの方程式には、μ0は登場しますがμは登場しません。μ0は単位系の都合で決まる定数ですから、div B = 0は、div (μ0・H) = 0と書いたとしても、全く同じです。

電場に関し、超伝導コイルのようなものに円環状に電流が流れているなら電場のスカラーポテンシャルはありません。逆に電荷が止まっていれば電場のベクトルポテンシャルはありません。これらに対して電子のような電荷が動いている場合(円環状でも直線状でも)、電場はスカラーポテンシャルだけでもベクトルポテンシャルだけでも表せませんが、その重ね合わせで表すことはできます。

No.1 回答者： el156 回答日時： 2012/05/19 07:23

磁荷が無いので磁界が沸き出すことはありません。

(div B = 0)
電場なら、沸き出しと回転を両方持つ場合があります。(div D = ρ、div E = -∂B/∂t)
棒磁石も電流も、マクロに見ると帯電していないので、静電気力は働きません。これだけなら沸き出しのない静磁場です。
空間を電子が走っているようなモデルなら沸き出しと回転を両方持ちますが、これを電子と並走する座標系で見ると、沸き出しだけになって磁場が無くなります。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

例に出したのは、磁束密度Bではなく、磁界Hです。
棒磁石のN極とS極の先端は、磁界Hの湧き出しになりますよね？

> 電場なら、沸き出しと回転を両方持つ場合があります。(div D = ρ、div E = -∂B/∂t)

では、電場について、湧き出し、回転それぞれの成分について
スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルが得られれば、
それぞれの-grad, rotの重ね合わせで電場は表現できるでしょうか？というのが質問の趣旨です。

もしわかればご回答いただけると幸いです。

補足日時：2012/05/19 08:47